Sé que hay un post relacionado al respecto, pero alguien sabe una forma 'cerrado' solución integral\begin{equation}I=\int_{-\infty}^{\infty} dx\,e^{ax-bx^{4}}\end{equation} sé que puede hacer una expansión de la serie del término cuártica, pero me gustaría encontrar una forma que evita. Integral debe converger como $e^{-bx^{4}}$ domina en gran $x$ y así que el integrando se va rápidamente a cero ($b>0$ obviamente). Cualquier ayuda / referencias sería mucho apreció.
Respuestas
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Arce tiene esto... en cuanto a la hipergeométrica ${}_0F2$ funciones: $ \int {-\infty} ^ {\infty} ! {{\rm e} ^ {-b {x} ^ {4} + ax}} {dx} = \frac{\displaystyle 2\, \sqrt {2} \pi \, {\mbox{$_0$F$_2$}\left (\; \,1/2,3/4;\,{\frac {1} {256}} \, {\frac {{un} ^ {4}} {b}} \right)} \sqrt {b} + \Gamma \left (3/4 \right) ^ {2} {un} ^ {2} {\mbox{$_0$F$_2$}\left (\; \,5/4,3/2;\,{\frac {1} {256}} \, {\ frac {{un} ^ {4}} {b}} \right)}} {{b} 4 ^ {3/4} \Gamma \left (3/4 \right)} $
dysan1257
Puntos
1
Esto se llama Gauss, no es integrable por medios elementales. En primer lugar usted necesita para hacer la sustitución de $a \rightarrow ax$, de modo que la integral es más fácil. Ahora la integral es $$\int _{-\infty} ^{\infty} e^{ax^{2} -b x^{4}} dx$$ Ahora, esto es más fácil de integral si hacemos la sustitución de $x \rightarrow \sqrt{x}$ debido a que la integral es ahora $$\int _{-\infty} ^{\infty} e^{ax^ - b x^{2}} dx$$ Ok, ahora estamos en la pista, porque se puede completar el cuadrado. Reescribir la integral como $$\int _{-\infty} ^{\infty} e^{-b(x-\frac{a}{2b})^{2}}e^{-(ax)^2} dx$$ Ahora estamos casi terminado, acaba de sacar el último factor para obtener $$e^{-(ax)^2} \int _{-\infty} ^{\infty} e^{-b(x-\frac{a}{2b})^{2}} dx = e^{-(ax)^2} \sqrt{\pi}$$ Ahora tenemos que evaluar en algún lugar porque esta es una función de x, mientras que la integral original no es. Escogí a 0, pero cualquier otro valor que debe trabajar. Así, la respuesta es $\sqrt{\pi}$.
