La gráfica de toda función real tiene medida interna cero

Question

Estoy tratando de entender la respuesta a esta pregunta :

Dejemos que $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función (general). ¿Existe una $N\subset \mathbb{R}^2$ con $\lambda^2(N)=0$ , de tal manera que $\{(x,f(x)):x\in \mathbb{R}\}$ $\subset N$ ?

Primera línea de la respuesta, encontrada allí : "Ninguna función puede tener una gráfica con medida positiva o incluso con medida interna positiva, ya que toda gráfica de función tiene incontables traslaciones verticales disjuntas, que cubren el plano. "

No entiendo por qué el hecho de que "toda gráfica de función tiene incontables traslaciones verticales disjuntas, que cubren el plano" (estoy de acuerdo con eso) implica el resultado deseado.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Si el gráfico de una función $G$ de medida interna positiva existía, entonces elegir $K\subset G$ medible de medida positiva y considerando las traducciones de $K$ se obtendría un número incontable de conjuntos medibles disjuntos de medida positiva. Esto es imposible en cualquier $\sigma$ -espacio de medida finita.

En efecto, dejemos que $X=\bigcup X_n$ ser un $\sigma$ -espacio de medida finita con $\mu(X_n)<\infty$ y que $\mathcal{C}$ sea una colección incontable de subconjuntos medibles disjuntos de $X$ de medida positiva. Entonces, para cada $A\in\mathcal{C}$ existe $m,n\in\mathbb{N}$ tal que $\mu(A\cap X_n)>1/m$ . Por lo tanto, debe existir algún par $(m,n)\in\mathbb{N}^2$ tal que $\mu(A\cap X_n)>1/m$ para un número incontable de elementos diferentes $A\in \mathcal{C}$ . Pero como los conjuntos $A\cap X_n$ son todos disjuntos, esto implicaría $\mu(X_n)=\infty$ (digamos que eligiendo una colección contablemente infinita de tales $A$ y utilizando la aditividad contable).

Answer 2

Supongamos que la gráfica tiene una medida positiva. Entonces podemos cubrir el plano con incontables traslados disjuntos de este conjunto de medida positiva. Entonces esta pregunta completa la prueba.