Si tenemos un subgrupo de índice 3 que no es normal, demuestre que hay un subgrupo con índice 2

Question

Dado un subgrupo $H$ de $G$ con índice $3$ tenemos que demostrar que existe un subgrupo $K$ de $G$ con índice $2$ , suponiendo que $H$ no es un subgrupo normal de $G$ .

Mi línea de pensamiento era la siguiente:

Así que $[G:H]=3$ y $H$ no es normal. Esto significa que hay un primo más pequeño que puede dividir $G$ Así que.., $2$ divide $G$ . Entonces utilizamos el teorema de Cauchy para decir que hay un elemento $g$ en $G$ con el pedido $2$ .

¿Funcionará entonces utilizar la representación de permutación de la multiplicación por la izquierda en $G$ y la existencia de una permutación impar?

Cualquier pista en la dirección correcta será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $G$ actúan sobre los cosets de $H$ obtenemos un morfismo $G \to S_3$ con Kernel $N$ . Es bien sabido que tenemos $N \leq H$ . Desde $H$ no es normal, $G \to S_3$ es sobreyectiva, porque la imagen tiene más de $3$ elementos. Por el signo obtenemos una suryección $G \to S_3 \to \{-1,1\}$ por lo que es un subgrupo de índice $2$ .

Answer 2

Sugerencia: La acción de $G$ en los cosets de la izquierda de $H$ mediante la multiplicación por la izquierda da un homomorfismo: $\phi: G \rightarrow S_{3}$ . El $\ker \phi$ es el mayor subgrupo normal contenido en $H$ . Ahora considere $\frac{|G|}{|\ker \phi | } = \frac{3|H|}{|\ker \phi |} \in \{1, 2, 3, 6 \}$ . Utilice el hecho de que $|\ker \phi|$ divide $|H|$ que $2$ no divide $3$ y el hecho de que $H$ no es normal deducir que $G$ sería $S_{3}$ que tiene un subgrupo de índice 2.

Answer 3

En general:

Propuesta Si $p$ es el primo más pequeño que divide el orden de un grupo $G$ entonces un subgrupo de índice $p$ es normal en $G$ .

La prueba de este hecho sigue el mismo razonamiento que los demás de esta página: si $H$ es un subgrupo de índice $p$ dejar $G$ actúan sobre los cosets derechos de $H$ mediante la multiplicación por el derecho. El núcleo de esta acción, llamado $core_G(H)$ es un subgrupo normal de $G$ contenida en $H$ . Entonces $G/core_G(H)$ se incrusta homomórficamente en $S_p$ . Y el orden de $S_p$ es $p \cdot (p-1) \cdots 2 \cdot 1$ .

Nota (véase el comentario de Marc van Leeuwen más abajo, que está totalmente justificado). He interpretado mal el post del OP. Procedamos según mi razonamiento anterior: tenemos $core_G(H) \subsetneq H \subsetneq G$ . La primera inclusión es estricta, ya que $H$ no es normal. Ya que $G/core_G(H)$ se incrusta homomórficamente en $S_3$ se deduce que de hecho $G/core_G(H) \cong S_3$ . Desde $A_3$ tiene el índice 2 en $S_3$ tiene que haber un subgrupo $K$ de $G$ , de tal manera que $core_G(H) \subseteq K$ y $K/core_G(H) \cong A_3$ . Pero entonces el índice $[G:K]=2$ .