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El homomorfismo de grupo divisible a grupo finito es siempre trivial

Dejemos que $A$ sea un grupo divisible, sea $B$ sea un grupo finito, y sea $f: A \rightarrow B$ sea un homomorfismo. Demuestre que $f$ es trivial.

(Un grupo $A$ es divisible si para cada $a \in A$ y $n \ge 1$ existe algún $b \in A$ tal que $b^n = a$ )

Quería saber si mi solución es correcta -

Dejemos que $a \in A$ . Y asumir que $|B| = n$ para algunos $n \in \mathbb{N}$ . Así que podemos ver que -

$f(a)=f(b^n)=(f(b))^n=e_B$ y por lo tanto $f$ es trivial.

La primera $=$ es por $A$ siendo un grupo divisible, y la segunda es por $f$ siendo un homomorfismo.

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Se ve muy bien.

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egreg Puntos 64348

La prueba es correcta, pero yo añadiría algo para mayor claridad.

Supongamos que $A$ es divisible y que $B$ es finito con $|B|=n$ . Si $f\colon A\to B$ es un homomorfismo y $a\in A$ entonces existe $x\in A$ tal que $x^n=a$ . Por lo tanto, $$ f(a)=f(x^n)=f(x)^n=e_B $$ Desde $a$ era arbitraria, concluimos que $f$ es trivial.

Una técnica similar demuestra que la imagen homomórfica de un grupo divisible es divisible. Es posible que quieras demostrar que un grupo divisible no trivial es infinito.

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