Demostrar la positividad de $f$ cuando $f'' > f$

Question

Estoy dado que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es dos veces diferenciable y $f(0) = f'(0) =1$. Suponiendo que $f''(x) > f(x)$ por todas partes muestran que $f(x) > 0$ % todos $x$.

Sé que $f$ y $f'$ son continuos ($f''$ existe). Ya que $f(0) = f'(0)= 1$ allí es algunos $\delta > 0$ donde $f(x), f'(x) > 0$ $-\delta \leq x \leq \delta$. He intentado usando la aproximación de Taylor de segundo orden para extender el intervalo pero no veo cómo mostrar $f(x) > 0$ % todos $x

Answer 1

Una pista aquí es que la función exponencial es igual a su segundo derivado, mientras que $f'' > f$ y, así, $f$ tiene mayor convexidad. Por lo tanto, $g(x) = f(x)e^{-x}$ tiene un mínimo global en $x=0$ donde $g(0) = 1$.

Por lo tanto, $g(x) \geqslant 1$, que implica todas las $f(x) \geqslant e^x > 0$ $x$.

Detalles:

Tenga en cuenta que $g'(x) = [f'(x) - f(x)] e^{-x} = [f'(x) - f(x)] e^{x} \cdot e^{-2x} $.

Tenemos, desde $f'' >f$,

$$\frac{d}{dx}\left([f'(x) - f(x)] e^{x}\right) = [f''(x) - f(x)]e^x > 0,$$

y $[f'(0) - f(0)]e^0 = 0$, que muestra que el $[f'(x)-f(x)]e^x$ y, en consecuencia, $g'(x)$ pasa de negativo a valores positivos con $x$ y $g$ tiene un mínimo global en $x = 0$.