Estoy buscando la verificación para probar que para $$ f(x) = \int_1^x \frac{dt}{t} $$ la derivada de la función inversa es la propia función inversa: $$ f^{-1}(y) = \frac{d}{dy}f^{-1}(y). $$
Es evidente que la afirmación es cierta porque
- $f(x) = \log(x)$ y por lo tanto $f^{-1}(y) = \exp(y)$
- Y porque $\exp(y) = \frac{d}{dy}\exp(y)$ .
Sin embargo, quiero demostrar el hecho utilizando sólo las definiciones de $f$ y $f^{-1}$ .
Hasta ahora sé que por el teorema fundamental del cálculo $$ f'(x) = 1/x. $$
Y por el teorema de la función inversa también sé que $$ \frac{d}{dy} f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(x)}~ \text{ such that } f(x)=y. $$
Y por lo tanto $$ \frac{d}{dy} f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = f^{-1}(y). $$
Así que supongo que eso lo resuelve...
