¿Qué es

Question

Aquí es el integral que tengo,

$$ \displaystyle\int\dfrac{x^4}{1+ e^x} dx $$

Probé los métodos que conozco, pero fracasé miserablemente.

¿Cómo dirigiría usted todo este problema?

Answer 1

Según WolframAlpha, tienes que usar nonelementary funciones tales como la función del polylogarithm, $\operatorname{Li}_n(x)$: $$\frac{x^5}{5} - x^4 \log(1 + e^x) - 4 x^3 \operatorname{Li}_2(-e^x) + 12 x^2 \operatorname{Li}_3(-e^x) - 24 x \operatorname{Li}_4(-e^x) + 24 \operatorname{Li}_5(-e^x)$ $

Answer 2

$ \ int \ frac {x ^ 4} {1 + e ^ x} \ dx \\ \ int \ frac {x ^ 4e ^ {- x}} {1 + e ^ {- x}} \ dx $

Convirtiendo a una serie geométrica:$\frac {y}{1+y} = \sum_\limits{n=1}^\infty (-y)^n$

$\int x^4\sum_\limits{n=1}^\infty (-1)^ne^{-nx} \ dx$

considerando solo un término$\int x^4e^{-nx} = (\frac {x^4}{n} + \frac {4x^3}{n^2} + \frac {12x^2}{n^2} + \frac {24x}{n^3} + \frac {24}{n^4}) e^{-nx}$

$\sum_\limits{n=1}^{\infty}(-1)^n(\frac {x^4}{n} + \frac {4x^3}{n^2} + \frac {12x^2}{n^2} + \frac {24x}{n^3} + \frac {24}{n^4}) e^{-nx}$

Vale la pena mencionar$\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac {x^{s-1}}{e^x -1} \ dx = \zeta(s)$