Estoy haciendo algunos ejercicios sobre Apostol del cálculo, en el piso de la función. Ahora, él no da una definición explícita de $[x]$, por lo que voy con esto:
La DEFINICIÓN Dada $x\in \Bbb R$, la parte entera de la $x$ es la única $z\in \Bbb Z$ tal que $$z\leq x < z+1$$ and we denote it by $[x]$.
Ahora le pide a probar algunas cosas básicas acerca de la misma, tales como: si $n\in \Bbb Z$, $[x+n]=[x]+n$
Así me lo demostró como esta: Vamos a $z=[x+n]$$z'=[x]$. Entonces tenemos que
$$z\leq x+n<z+1$$
$$z'\leq x<z'+1$$
A continuación, $$z'+n\leq x+n<z'+n+1$$
Pero desde $z'$ es un número entero, por lo que es $z'+n$. Desde $z$ es único, debe ser que $z'+n=z$.
Sin embargo, esto no parece para llevarme a cualquier parte para demostrar que $$\left[ {2x} \right] = \left[ x \right] + \left[ {x + \frac{1}{2}} \right]$$
y, en general, que
$$\left[ {nx} \right] = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left[ {x + \frac{k}{n}} \right]} $$
Obviamente, uno podría hacer un informal de la prueba de pensamiento acerca de "la lleva", pero esa no es la idea, no hablemos de lo tedioso que sería. Tal vez hay algo más fácil o más clara caracterización de $[x]$ en términos de $x$ a solucionar esto.
Otra propiedad es $$[-x]=\begin{cases}-[x]\text{ ; if }x\in \Bbb Z \cr-[x]-1 \text{ ; otherwise}\end{cases}$$
Yo sostengo: si $x\in\Bbb Z$, es claro $[x]=x$. A continuación,$-[x]=-x$, e $-[x]\in \Bbb Z$$[-[x]]=-[x]=[-x]$. Por el otro, supongo que uno podría decir:
$$n \leqslant x < n + 1 \Rightarrow - n - 1 < x \leqslant -n$$
y desde $x$ no es un número entero, este debe ser el mismo que $$ - n - 1 \leqslant -x < -n$$
$$ - n - 1 \leqslant -x < (-n-1)+1$$
Por lo $[-x]=-[x]-1$
