Tengo este problema.
Que f:D→C es una función tal que f y 1/f son armónicas (las partes real e imaginarias son armónico). Entonces f es holomorfa o antiholomorphic.
He intentado resolver por computación el Laplaciano de partes real e imaginarias, pero resulta muy engorroso. ¿Hay una manera mejor?
Idea posible. Deje f=f(x,y). Si f 1/f son armónicas, a continuación, ∂2f∂x2+∂2f∂y2=0 ∂21/f∂x2+∂21/f∂y2=0 donde ∂1/f∂x=−∂f∂x1f2∂21/f∂x2=−∂2f∂x21f2+2(∂f∂x)21f3
∂1/f∂y=−∂f∂y1f2∂21/f∂y2=−∂2f∂y21f2+2(∂f∂y)21f3 Así −∂2f∂x21f2+2(∂f∂x)21f3−∂2f∂y21f2+2(∂f∂y)21f3=2f3((∂f∂x)2+(∂f∂y)2)
2f3((∂f∂x)2+(∂f∂y)2)=0 Desde f≢, tenemos 0=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f} {\partial y}\right)^2 =\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f} {\partial y}i\right)\left(\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f} {\partial y}i\right)
Que \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}=\tfrac12(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}) y \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\overline{z}}=\tfrac12(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}) como de costumbre. Entonces \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z \, \mathrm{d}\overline{z}} = \frac14\left(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}+ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}y^2}\right) and f is holomorphic if \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\overline{z}}=0 or anti-holomorphic if \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}=0. Now under the given conditions 0 = \frac{\mathrm{d}^2 f^{-1}}{\mathrm{d}z \, \mathrm{d}\overline{z}} = 2 f^{-3} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\overline{z}}.
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