¿Cuál es la serie de$\sum_{n\geqslant1} \dfrac{\zeta(2n)}{n2^{2n}}$.

Question

Sé con la fórmula$$1-\sum_{n\geq 1}2\zeta(2n)\,x^{2n}=\pi x\cot(\pi x)$ $ que puedo encontrar la siguiente relación utilizada aquí

$$ \ sum_ {n \ geqslant1} \ dfrac {\ zeta (2n)} {n2 ^ {2n}} = \ color {azul} {\ ln \ dfrac {\ pi} {2}} $$

difícilmente, dado que tengo$$\int\sum_{n\geq 1}\zeta(2n)\,x^{n-1}dx=\int\left(\dfrac{1}{2x^{n+1}}-\dfrac{\pi}{2} \dfrac{\cot(\pi x)}{x^n}\right)dx$ $ y después de la integración configuré$x=\dfrac14$, pero parece tan difícil.

Cualquier sugerencia, gracias de antemano!

Answer 1

Utilizando la fórmula tenemos $$ \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n 2^{2n}} = \int \limits0^{1/2} \sum \limits{n=1}^\infty 2 \zeta(2n) x^{2n-1} \, \mathrm{d} x = \int \limits0^{1/2} \frac{1-\pi x \cot(\pi x)}{x} \, \mathrm{d} x \, .$ $ ahora que $\pi x = t$ e integrar: $$ \sum \limits{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n 2^{2n}} = \lim{\varepsilon \searrow 0} \int \limits\varepsilon^{\pi/2} \left[\frac{1}{t} - \cot(t)\right] \, \mathrm{d} t = \lim{\varepsilon \searrow 0} \left[\ln\left(\frac{t}{\sin(t)}\right)\right]\varepsilon^{\pi /2} = \ln \left(\frac{\pi}{2}\right) \, .$ $

También por supuesto puedes calcular la serie directamente utilizando producto de Wallis:\begin{align} \sum \limits{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n 2^{2n}} &= \sum \limits{n=1}^\infty \frac{1}{n 2^{2n}} \sum \limits{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}} = \sum \limits{k=1}^\infty \sum \limits{n=1}^\infty \frac{1}{n (4k^2)^n} = \sum \limits{k=1}^\infty - \ln\left(1-\frac{1}{4k^2}\right) \ &= \sum \limits{k=1}^\infty \ln \left(\frac{4k^2}{4k^2 -1}\right) = \ln \left(\prod \limits{k=1}^\infty \frac{4k^2}{4k^2 -1} \right) = \ln \left(\frac{\pi}{2}\right) \, . \end {Alinee el}

Answer 2

Otro enfoque (similar), solo por diversión. De la representación integral de la función Zeta de Riemann $$\zeta\left(s\right)=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int{0}^{\infty}\frac{u^{s-1}}{e^{u}-1}du,\,\mathrm{Re}\left(s\right)>1$$ we have $$S=\sum{n\geq1}\frac{\zeta\left(2n\right)}{n4^{n}}=\sum{n\geq1}\frac{1}{n4^{n}\left(2n-1\right)!}\int{0}^{\infty}\frac{u^{2n-1}}{e^{u}-1}du=\int{0}^{\infty}\frac{e^{u/2}+e^{-u/2}-2}{u\left(e^{u}-1\right)}du$$ where the exchange is justified by the dominated convergence theorem. Then, by the Frullani's theorem, we get $$S=\sum{m\geq1}\left(\int{0}^{\infty}\frac{e^{-u\left(m-1/2\right)}-e^{-mu}}{u}dx+\int{0}^{\infty}\frac{e^{-u\left(1/2+m\right)}-e^{-mu}}{u}dx\right)$$ $% $ $=-\sum_{m\geq1}\log\left(1-\frac{1}{4m^{2}}\right)$y así la demanda por el producto de Wallis.