Hesaplamak

Question

Supongamos que {$a_n$} es una secuencia tal que$\displaystyle\lim_{n \rightarrow\infty} {n^x}a_n=a$ para algún$x$% real. Calcular
ps

Mis intentos: tomo$$\lim_{n \rightarrow \infty}n^x (a_1.a_2......a_n)^{\frac{1}{n}}$

después de esto $a_1=a_2 =.......=a_n = a$ $lim_{n \rightarrow \infty}$

Es correcto ?? o no

ayúdame,

cualquier HINTS / SOLUTion .....

Answer 1

Supongamos que$a_n> 0$ para cada entero positivo$n$; de lo contrario, el límite puede no existir. Establezca$z_n:=n^x\,a_n$ como Martin R recomendado. Por lo tanto,$$n^x\,\left(\prod_{i=1}^n\,a_i\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{n^x}{\left(\prod\limits_{i=1}^n\,i^x\right)^{\frac1n}}\,\left(\prod\limits_{i=1}^n\,z_i\right)^{\frac1n}=\left(\frac{n^n}{n!}\right)^{\frac{x}{n}}\,\left(\prod_{i=1}^n\,z_i\right)^{\frac1n}\,. Ahora, dado que$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\,z_n=a$, tenemos$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\,\left(\prod_{i=1}^n\,z_i\right)^{\frac1n}=a$ (consulte el enlace de Martin R en los comentarios anteriores). Además, la aproximación de Stirling$n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\text{e}}\right)^n$ implica que $$\lim_{n\to\infty}\,\left(\frac{n^n}{n!}\right)^{\frac{x}{n}}=\lim_{n\to\infty}\,\left(\frac{\text{e}^n}{\sqrt{2\pi n}}\right)^{\frac{x}{n}}=\exp(x)\,.$$ Consequently, $$\lim_{n\to\infty}\,n^x\,\left(\prod_{i=1}^n\,a_i\right)^{\frac{1}{n}}=a\,\exp(x)\,.

Answer 2

Ya que $a_n \approx an^{-x}$,

$\begin{array}\\ n^x (\prod_{k=1}^na_k)^{\frac{1}{n}} &\approx n^x \left(\prod_{k=1}^n(ak^{-x})\right)^{\frac{1}{n}}\\ &= n^x \left(a^nn!^{-x}\right)^{\frac{1}{n}}\\ &= n^x a\left(n!^{1/n}\right)^{-x}\\ &\approx n^x a\left(n/e\right)^{-x}\\ &= ae^{x}\\ \end {array}$

Answer 3

Considere$b_n=n^{nx} a_1 a_2\dots a_n$ y luego$b_{n+1}/b_n=(1+n^{-1})^{nx}(n+1)^xa_{n+1}\to e^xa$ y, por lo tanto,$b_n^{1/n}\to ae^x$.