Derivado de una función en un punto

Question

Un amigo que todavía está en el instituto me dio el siguiente problema. Para $x>-1\,$ computacional $f'(0)$ si $$f(x)= \left (x^2- \ln ^2(x+1) \right )^ \frac {1}{3}$$ Así es como lo resolví. Como se complicaba más si calculaba el derivado y luego intentaba conectar $x=0$ Utilicé la definición de derivado: $$\lim_ {x \to 0} \frac { \left (x^2- \ln ^2(x+1) \right )^ \frac {1}{3}- \left (0-0 \right )^ \frac {1}{3}}{x-0}= \lim_ {x \to 0} \frac { \left (x^2- \ln ^2(x+1) \right )^ \frac {1}{3}}{x}.$$ Tenemos la serie de energía de $\ln (1+x)=x- \frac {x^2}{2}+O(x^3) \rightarrow\ln ^2(1+x)=x^2-x^3+O(x^4)$ así que el límite inicial es sólo $$\lim_ {x \to 0} \frac { \left (x^3(1-O(x) \right )^ \frac {1}{3}}{x}=1$$ No pude resolverlo con ningún otro método y mi amigo no aprendió la serie todavía. ¿Podría ayudarme con un enfoque elemental para este problema?

Answer 1

Esta es una versión reordenada de la respuesta de Piyush Divyanakar sin la suposición de que el límite dado existe.

Tenga en cuenta que por L'Hopital, $$\lim_{x\to 0}\frac{x+\ln(x+1)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1+1/(x+1)}{1}=2$$ y $$\lim_{x\to 0}\frac{x-\ln(x+1)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{1-1/(x+1)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{1/(x+1)^2}{2}=\frac{1}{2}.$$ Por lo tanto, como $x\to 0$ , $$\frac{\left(x^2-\ln^2(x+1)\right)^\frac{1}{3}}{x}=\left(\frac{x+\ln(x+1)}{x}\cdot \frac{x-\ln(x+1)}{x^2}\right)^{1/3}\to \left(2\cdot \frac{1}{2}\right)^{1/3}=1.$$ Por lo tanto $$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\left(x^2-\ln^2(x+1)\right)^\frac{1}{3}}{x}=1.$$

Answer 2

$$\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2-\ln^2(x+1)\right)^\frac{1}{3}}{x}=l$$ Entonces por el teorema algebraico del límite $$\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2-\ln^2(x+1)\right)}{x^3}=l^3$$ $$\lim_{x\to 0}\frac{\left(x-\ln(x+1)\right)}{x^2}\lim_{x\to 0}\frac{\left(x+\ln(x+1)\right)}{x}=l^3$$ Ahora usando la regla de L'Hopital en ambas partes $$\lim_{x\to 0}\frac{\left(1-\frac1{(x+1)}\right)}{2x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\left(1+\frac{1}{x+1}\right)}{1}=l^3 \\ \lim_{x\to0}\frac{x}{2x(x+1)}\cdot\lim_{x\to0}\frac{x+2}{x+1}=l^3 \\ l^3=1 \\l=1$$