No me puedo imaginar ningún tipo de curvatura condición de que iba a funcionar. Voy a usar la frase "estándar ejemplos" para referirse a un espacio diffeomorphic a una esfera o espacio proyectivo sobre $\mathbb{C},\mathbb{H}$ o $\mathbb{O}$. Esto sin duda, son los ejemplos más conocidos de colectores de tener el tipo de cohomology anillos usted está tratando de evitar.
Por ejemplo, uno podría demanda negativa/cero/positivo de la sección transversal de la curvatura. Pero los dos primeros casos no puede surgir en un cerrado simplemente conecta el colector, por Cartan-Hadamard Teorema. Esto deja el caso de resultados positivos de curvatura seccional - pero entonces todos los de la norma ejemplos admitir esa medida.
Así, tal vez podría demanda negativa/cero/positivo de la curvatura de Ricci. De nuevo, en el caso positivo, todos los ejemplos admitir esa medida. Además, Lohkamp ha demostrado que cada colector de dimensión al menos $3$ admite una métrica de la negativa de la curvatura de Ricci. Y parece ser que abrir si o no $S^n$ admite un Ricci plana métrica (ver este MO pregunta). Yo no sé acerca de Ricci plana métricas en cualquier otro espacio con solos generado racional cohomology.
Finalmente, en el ámbito de escalar de curvatura, todos los ejemplos admitir métricas en positivo escalar de curvatura. Por Kazdan-Warner, cada uno de ellos admitir escalar plana y escalar negativo métricas.
Para complicar más las cosas, hay ejemplos conocidos de exóticos esferas que no admiten métricas de positivo escalar de curvatura (para no admitir las métricas de positivo de la sección transversal, o de la curvatura de Ricci). Así que no parece que ninguno de los habituales de la curvatura de condiciones pueden limitar el racional cohomology anillo como le gustaría.
