Incrustación de $S^1\times\cdots\times S^1$ $\mathbb{R}^{k+1}$

Question

Actualmente estoy tratando de subir con una explícita parametrización de las $k$-toro en $\mathbb{R}^{k+1}$. He estado siguiendo la respuesta aquí , pero yo estoy luchando para probar la inyectividad.

Deje $e_1,\ldots, e_{k+1}$ ser el estándar en $\mathbb{R}^{k+1}$$\varepsilon<1$. Así que según el enlace, debo empezar con un elemento $v_1$ de longitud 1 en el lapso$(e_1,e_2)$, es decir, $$ v_1(\theta_1)=\cos(\theta_1)e_1+\sin(\theta_2)e_2 $$ A partir de ahí me debe elegir un elemento $v_2$ de la longitud de la $\varepsilon$ en el lapso$(v_1,e_3)$, es decir, $$ v_2(\theta_1,\theta_2)=\varepsilon\cos(\theta_2)v_1(\theta_1)+\varepsilon\sin(\theta_2)e_3 $$ y en general (por $1\leq j\leq k$), conjunto de $$ v_j(\theta_1,\ldots,\theta_j)=\varepsilon^{j-1}\cos(\theta_j)v_{j-1}(\theta_1,\ldots ,\theta_j)+\varepsilon^{j-1}\sin(\theta_j)e_{j+1}. $$ A partir de esto, el mapa $$ \Phi:(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_{k}})\mapsto\sum_{j=1}^{k}v_j(\theta_1,\ldots,\theta_j) $$ es el supuesto necesario de la incrustación. Esto tiene sentido intuitivamente, pero me parece que no puede probar la inyectividad.

Cosas Nuevas

El único caso que puedo hacer cualquier progreso es en el caso de $k=3$. He intentado hacer la inducción y immitating este argumento en el paso inductivo, pero no parece funcionar.

Si $k=3$, $$\Phi(e^{i\theta_1},e^{i\theta_1})=\Phi(e^{i\theta_1'},e^{i\theta_1'})$$ implica $$ (1+\varepsilon\cos(\theta_2))v_1(\theta_1)+\varepsilon\sin(\theta_2)e_3=(1+\varepsilon\cos(\theta_2'))v_1(\theta_1')+\varepsilon\sin(\theta_2')e_3. $$ En este caso los vectores que se han añadido juntos son ortogonales, por lo que tomar la norma cuadrada de ambos lados da $$ (1+\varepsilon\cos(\theta_2))^2+\varepsilon^2\sin(\theta_2)=(1+\varepsilon\cos(\theta_2'))^2+\varepsilon^2\sin(\theta_2'), $$ que después de la simplificación se convierte en $$ 2\varepsilon\cos(\theta_2)=2\varepsilon\cos(\theta_2), $$ por lo $\cos(\theta_2)=\cos(\theta_2')$. Esto, combinado con la inmediata hecho de que $\sin(\theta_2)=\sin(\theta_2')$ muestra que $\theta_2=\theta_2'$ ( $[0,2\pi)$ ). El resto se sigue del hecho de que $v_1$ es inyectiva.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí está una descripción de una incrustación, que puede elaborarse en una fórmula explícita si quieres.

Tomar una incrustación de $T^n$ $\Bbb R^{n+1}$. Queremos usar esto como base para uno de $T^{n+1}=T^n\times S^1$ $\Bbb R^{n+2}$.

Traducir su $T^n$ por lo que se encuentra en el medio-plano definido por $x_{n+1}>0$. A continuación, dejar que la incrustación de $T^n$ dada por funciones $p\mapsto (\phi(p),\psi(p))$ donde $\phi(p)\in\Bbb R^n$ y $\psi(p)\in(0,\infty)$. Ahora la incorporación de $T^{n+1}$ $\Bbb R^{n+2}$ por $$(p,e^{it})\mapsto(\phi(p),\psi(p)\cos t,\psi(p)\sin t).$de % $ $\psi(p)>0$ las dos últimas coordenadas determinar $\psi(p)$ y $e^{it}$.