"Débiles" y "Fuerte" aislantes topológicos

Question

Para la traducción invariantes de sistemas, podemos definir algunos invariante topológico basado en la simetría traslacional, que se refiere a los "débiles" invariante topológico. Por ejemplo, según Kitaev de la K-teoría de la clasificaciónhttps://arxiv.org/abs/0901.2686), el 3D T-invariante aislantes son clasificados por $\tilde{K}^{-1}_\mathbb{R}(T^3) \cong \mathbb{Z} \oplus 3\mathbb{Z}_2$ donde $T^3$ es el impulso espacio que forma un 3-toro. El $\mathbb{Z}_2$ es la parte "débil" invariante.

Para los sistemas generales, el resultado está dado por $\tilde{K}^{-q}_\mathbb{R}(\bar{S}^d)$. Mi pregunta es: ¿cuál es el significado de este colector $\bar{S}^d$? Kitaev dijo que es compactified impulso espacio (La asintótica de la Hamiltoniana es fijo para $|p|\rightarrow \infty$). Sin embargo, si la simetría traslacional está roto, y ni siquiera podemos definir el "ímpetu" espacio por la transformada de Fourier. Así que, ¿por qué pretendemos que la clasificación de K-teoría sobre el compactified impulso espacio de $\bar{S}^d$ da el "fuerte" invariante topológico, que es robusto en la presencia de trastorno de la ruptura de la simetría traslacional?

Answer 1

Cuando se calcula la reducción de KO teoría de la $\bar S^d$, una esfera, por el Atiyah-Hirzebruch espectral de la secuencia es $$\tilde H^d(\bar S^d, KO_{-q-d}(pt)) = KO_{-q-d}(pt).$$ Tenga en cuenta que $\tilde H^0(\bar S^d, KO_{-q}(pt)) = 0$ desde $\bar S^d$ está conectado. El K la teoría del punto clasifica los índices de real de Dirac operadores. No todos ellos son completamente interacción (cobordism) invariantes. Algunos cobordisms causa de los índices a cambio de ciertas cantidades, y algunos no son el índice de cualquier operador de Dirac. Los que son de la "libre fermión" fases, y su clasificación de las formas de un cociente de la anterior.

Bajo el mapa de $T^d \to \bar S^d$, que se derrumba el límite de la zona de Brillouin a un punto, el K clases de teoría de la pullback para formar el subgrupo de "fuerte" invariantes, que no dependen de la simetría de traslación.