¿Qué es un formulario diferencial?

Question

¿puede alguien explicar de manera informal (pero intuitiva) qué significa "forma diferencial"? Sé que hay (por supuesto) algún formalismo detrás - definición y posibles operaciones con formas diferenciales, pero ¿cuál es la motivación de introducir y utilizar este objeto (forma diferencial)? He oído que de alguna manera generalizan la integración, se utilizan para la integración de variedades y pueden evaluar integrales k-dimensionales en un espacio n-dimensional (k<=n), pero ¿es realmente cierto y es la motivación principal de la introducción de este objeto en las matemáticas? Gracias por la explicación

Answer 1

Para hablar de formas diferenciales, primero tenemos que hablar de colectores y campos vectoriales. En términos informales, un colector es cualquier espacio que es localmente euclidiano. Es decir, el área alrededor de cada punto de un colector "parece" un espacio euclidiano, pero el espacio en su conjunto puede no ser euclidiano. Algunos ejemplos son las esferas y los toros. Los ejemplos más complejos son variados e interesantes, pero son difíciles de definir en un entorno informal.

Una variedad suave es una variedad en la que las regiones euclidianas alrededor de cada punto son en cierto sentido "compatibles". Esto significa que si las regiones euclidianas de dos puntos se solapan, puedo ambos sistemas de coordenadas euclidianas en esa región de solapamiento, y transferir de uno a otro de forma infinitamente diferenciable.

Una función suave sobre una variedad suave es una función cuyo rango son los números reales y que es infinitamente diferenciable con respecto a los sistemas de coordenadas euclidianas en las regiones euclidianas alrededor de los puntos de la variedad. El conjunto de todas las funciones suaves sobre una variedad $M$ se llama $C^\infty(M)$

Si las cosas se mueven un poco rápido para usted, puede que algunos de los tres últimos párrafos como, "tenemos espacios que de cerca se parecen al espacio euclidiano, y las funciones en ellos que son en algún sentido diferenciable".

Ahora hablaremos de un vector en un punto de una variedad suave. Esta definición probablemente va a sonar muy extraña, pero realmente es la forma más sencilla de definir los vectores en las variedades lisas. Un vector $v$ en un punto $x$ en un colector liso $M$ es cualquier función cuyo dominio es $C^\infty(M)$ y cuyo rango es $\mathbb R$ y que satisface las tres propiedades siguientes:

• $v(f+g)=v(f)+v(g)$
• $v(\lambda f)=\lambda v(f)$
• $v(fg)=v(f)g(x)+f(x)v(g)$

Dónde $f$ y $g$ son funciones suaves sobre $M$ y $\lambda$ es un número real (fíjate en algo que se parece a la regla del producto). ¿Qué significa esto y cómo se relaciona con los vectores tal y como estamos acostumbrados a verlos? Estamos acostumbrados a ver los vectores definidos por una colección de componentes. Pero el problema es que esas coordenadas dependen del sistema de coordenadas que elijamos. La definición que acabo de dar no lo hace. Pero si te gustan las coordenadas, no te preocupes; podemos pasar de una definición a otra. Si tus coordenadas son $(x_1,\cdots,x_n)$ y su vector expresado en coordenadas euclidianas en un punto $x$ es $v=(v_1,\cdots,v_n)$ podemos escribir el vector como un objeto de la forma I definida anteriormente escribiendo $$v=v_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+v_n\frac{\partial}{\partial x_n}.$$ Puede actuar sobre una función $f$ por diferenciación: $$v(f)=v_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)+\cdots+v_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(x).$$ Es fácil observar que esto satisface cada una de las tres propiedades anteriores.

Un campo vectorial liso en una variedad suave es una colección de vectores en una variedad, uno en cada punto, que varían de forma suave (diferenciable). En otras palabras, es una función $X$ cuyo dominio y rango son $C^\infty(M)$ tal que

• $X(f+g)=X(f)+X(g)$
• $X(\lambda f)=\lambda X(f)$
• $X(fg)=X(f)g+fX(g)$

Si te resulta más fácil, está bien imaginar un vector como una flechita tangente a alguna superficie, e imaginar un campo vectorial como un montón de esas flechas que cubren el colector. Se trata de una imagen natural, pero resulta poco útil en la práctica. Pero como esto es una "discusión informal", adelante.

Por fin estamos preparados para definir una forma diferencial.

Un diferencial $k$ -forma en un $n$ colector liso dimensional $M$ es cualquier función multilineal $\omega$ que toma como entrada $k$ campos vectoriales suaves en $M$ , $X_1,\cdots,X_k$ y emite una función escalar sobre $M$ para que $$\omega(X_1,\cdots,X_i,\cdots,X_j,\cdots,X_k)=-\omega(X_1,\cdots,X_j,\cdots,X_i,\cdots,X_k).$$ Esta última propiedad se denomina antisimetría .

Entonces, ¿cuál es la motivación de un objeto así? Hasta donde yo sé, la aplicación más importante de las formas diferenciales es, con mucho, la integración en variedades. Puede que haya habido alguna otra razón para su descubrimiento y definición iniciales, pero es para lo que se utilizan. Cuando se piensa en la integración, se piensa en calcular el área y el volumen. En un $n$ -de un colector de dimensiones, es posible que queramos medir el volumen o el área de cualquier submanifold de $n$ con cualquier dimensión menor o igual a $n$ . Dado un sistema de coordenadas en $M$ un diferencial $k$ -la forma nos dice cómo medir $k$ -volumen dimensional según ese sistema de coordenadas. Suponiendo que hayas tomado un curso de cálculo multivariable, probablemente recuerdes haber visto una imagen de un elemento de volumen de coordenadas esféricas.

Imágenes como ésta también nos dan una idea de cómo funcionan las formas diferenciales. La imagen etiqueta los cambios infinitesimales en el $\theta$ , $\phi$ y $r$ direcciones, y muestra cómo podemos calcular el volumen infinitesimal barrido por estos cambios. En cambio, podríamos considerar tres campos vectoriales que en cada punto tienen vectores tangentes a la $\theta$ , $\phi$ y $r$ direcciones, respectivamente. Una forma diferencial 3 combinaría estos tres campos vectoriales en el mismo elemento de volumen.

¿Por qué la antisimetría? La antisimetría nos permite considerar las orientaciones. De nuevo, si has estudiado cálculo multivariable, sabrás que al integrar sobre una superficie en un espacio de 3 dimensiones, suele ser importante observar en qué dirección apuntan los vectores normales a la superficie. Pero si nuestra superficie se encuentra en un espacio de 4 dimensiones o más, no hay una única dirección normal en cada punto, así que en su lugar utilizamos el orden de nuestras coordenadas para determinar la orientación. Si cambiamos dos coordenadas, cambiamos de orientación. Obtendremos el mismo resultado de la integración, salvo que el signo se invertirá.

Espero haber respondido a algunas de sus preguntas.

Answer 2

¿De dónde vienen las formas diferenciales?

Respuesta: Un día Élie Cartan estaba tomando mucha absenta y, de repente, tuvo una extraña idea: "¿Y si tomo la fórmula de cambio de variable y la represento sin ese molesto determinante jacobiano?" Primero el Sr. Cartan expresó, como siempre, el integrando y la región con la nueva función de coordenadas $X' = ϕ(X)$ . Luego expresó formalmente los diferenciales con nuevos diferenciales, $dx'= ∑\frac{\partial (x')}{\partial x*}dx$ . Ahora podía extraer el determinante jacobiano si trataba las diferenciales de una manera muy extraña, $ dx*dy = -dy*dx$ , al igual que con las columnas de la matriz en el determinante. Así que podría deshacerse del determinante jacobiano $Det[J]$ y codificar esa información en los diferenciales: $$Det[J]*d(x_1)∧...∧d(x_n)=Det[J]Det[x_1,..., x_n]=Det[J*X]=Det[X']=Det[x'_1,..., x'_n]=d(x'_1)∧...∧d(x'_n)$$

$$ \to ∫f(X')*d(x'_1)∧...∧d(x'_n)= ∫f((ϕ(X))*Det[J_ϕ]*d(x_1)∧...∧d(x_n)$$

Como un verdadero francés, Cartan rápidamente axiomatizó y generalizó su poderosa invención, y dejó a las generaciones futuras preguntándose qué demonios está pasando...

De la gema de un comentario de YouTube en los comentarios de este conferencia de Ted shiffrin

Answer 3

Desgraciadamente, hay un ton de formalismo detrás de las formas diferenciales, y una explicación "intuitiva" de las mismas para un no especialista es probablemente demasiado pedir. Yo mismo he pasado una cantidad razonable de tiempo pensando en lo que "son" las formas diferenciales, tratando de derivarlas de los primeros principios, o tratando de entenderlas como generalizaciones de este o aquel objeto del cálculo elemental.

Sin embargo, en este punto, creo que la mejor manera de acercarse al desalentador concepto de las formas diferenciales es darse cuenta de que Las formas diferenciales se definen como lo que hace Teorema de Stokes Es cierto. En otras palabras, se puede abordar la comprensión de las formas de dos maneras diferentes:

1. Puedes tratar de entender las formas diferenciales primero e interpretar el Teorema de Stokes como un resultado profundo sobre las formas, o
2. Puedes darte cuenta de que el Teorema Fundamental del Cálculo, el Teorema de Green, el Teorema de la Divergencia, Kelvin-Stokes, etc. son todos tentadoramente similar y así podrá tratar de entender por qué las formas son las correcto abstracción que hace que todos estos teoremas sean casos especiales del mismo Teorema de Stokes general.

Creo que el segundo enfoque es más esclarecedor y permite darse menos golpes de cabeza contra la pared tratando de entender "por qué" las definiciones son las que son. Así que te aconsejo que primero comprendas a fondo todos los teoremas que he enumerado más arriba, y luego, una vez que te hayas convencido de que todos son "lo mismo" de alguna manera misteriosa que no puedes entender, intentes coger un libro sobre formas diferenciales que no lo hace comienzan con los colectores como requisito previo, por ejemplo, Spivak Cálculo sobre Múltiples . Entender muy bien los factores determinantes probablemente tampoco hará daño.