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Dado$A\in\Bbb R^{n\times n}$, ¿está conectado$C_A := \{SAS^{-1} : S\in GL(n,\mathbb R)\}$?

Vamos a definir $\phi : GL(n,\Bbb R)\to C_A$, $\;\phi(S) = SAS^{-1}$ y los juegos $$ E_\pm := \{S\en GL(n,\Bbb R) : \pm\det S > 0\}. $$ Si $n$ es impar, entonces $\phi(E_+) = \phi(E_-) = C_A$ (debido a $\phi(-S) = \phi(S)$) y, por tanto, $C_A$ está conectado. Pero lo que sobre a $n$?


EDIT: acabo de ver que

Lema 1. Si $\det A < 0$, entonces todavía $\phi(E_+) = \phi(E_-)$ y, por tanto, $C_A$ está conectado.

Prueba. De hecho, si $T\in\phi(E_-)$, $T = \phi(S_0)$, $\det S_0 < 0$, a continuación,$\det(S_0A) > 0$$T = \phi(S_0A)\in\phi(E_+)$. El otro inclusión se demuestra de manera similar.

Así que la pregunta se reduce a $n$ a y $\det A\ge 0$.

EDIT2: he Aquí otro hecho.

Lema 2. Si no es $S_0\in E_-$ que conmuta con $A$, $C_A$ está conectado.

Prueba. Deje $T\in C_A$. Demostremos que podemos encontrar un camino dentro de$C_A$$T$$A$. Deje $T = SAS^{-1}$$S\in GL(n,\Bbb R)$. Si $S\in E_+$, nos encontramos con un camino de $S$ $I$ $E_+$y, por tanto, un camino de $C_A$$T$$A$. Si $S\in E_-$, podemos encontrar un camino dentro de$E_-$$S$$S_0$. Su imagen en $\phi$ es de nuevo un camino de $T$ $A$dentro $C_A$.

EDIT 3: Para arbitrario $\lambda\in\Bbb R$ tenemos $C_{A-\lambda I} = C_A - \lambda I$. Como esto es sólo una traducción en $\Bbb R^{n\times n}$$C_A$$\lambda I$, se deduce que el $C_A$ está conectado si y sólo si $C_{A-\lambda I}$ está conectado.

Por lo tanto, podemos concluir lo siguiente: Vamos a $J$ ser el verdadero Jordan en la forma de $A$. A continuación,$C_A = C_J$. Si $A$ tiene un autovalor real $\lambda_0$ que aparece en $J$ $k\times k$ Jordania bloque con $k$ impar, entonces $C_A$ está conectado. De hecho, debido a lo anterior, podemos cambiar $A$ $J$ simultáneamente y por lo tanto asumir que $A$ $J$ es invertible. Deje $\tilde J$$J$, pero con $-\lambda_0$'s en lugar de $\lambda_0$'s en la diagonal de la $k\times k$ Jordania bloque. A continuación, $\tilde J$ viajes con $J$ y por lo tanto también lo hace $\tilde JJ$. Desde $\det(\tilde JJ) < 0$, $C_J = C_A$ está conectado por Lema 2.

Resumen de la crítica de matrices: En el real de Jordan en la forma de cada Jordania bloque correspondiente a un autovalor real tiene el tamaño de $k\times k$ $k$ incluso.

Suponemos que los siguientes son equivalentes:

  1. $C_A$ está conectado
  2. Existe $S\in E_-$ que conmuta con $A$.
  3. Existe un bloque de Jordan $J$ $A$ que $C_J$ está conectado.
  4. Existe una verdadera impar tamaño de un bloque de Jordan de a $A$.

Sólo pude probar (4)$\Rightarrow$(3), (3)$\Rightarrow$(1), y (2)$\Rightarrow$(1) hasta ahora.


Comentario: Esta pregunta está relacionada con, y motivado por la Conexión de la matriz de clases conjugacy de un fijo real $A$, pero con la primera columna de $A$ invariante

2voto

GmonC Puntos 114

La cuestión se reduce a: ¿existen (para $n>0$) de las matrices en $E_+$ cuyo centraliser en $GL(n,\Bbb R)$ está totalmente contenida en $E_+$ (en otras palabras, su (1) y (2) son equivalentes). Para ver la dirección en la que no se abordan en la pregunta, comentario que $\phi(E_+)$ es sin duda un componente conectado de$~C_A$; si $C_A$ está conectado, entonces es de$~C_A$. Pero entonces para cualquier escogido $S\in E_-$ ha $\phi(S)\in\phi(E_+)$, decir $\phi(S)=\phi(T)$ $T\in E_+$ donde $T^{-1}S\in E_-$ centraliza $A$.

De hecho, tales matrices existe; cualquier tamaño máximo de Jordania bloque va a hacer. La única de las matrices que conmutan con ellos son polinomios en ellos, y cuando invertible tales matrices tiene determinante positivo.

Como para el resto de las caracterizaciones de la situación, me parece que una desconectado clase conjugacy puede suceder siempre en la presencia de los imaginarios autovalores (trate de un bloque triangular $4\times4$ matriz con la igualdad de matrices de rotación como su $2\times2$ la manzana de la diagonal).

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