Vamos a definir $\phi : GL(n,\Bbb R)\to C_A$, $\;\phi(S) = SAS^{-1}$ y los juegos $$ E_\pm := \{S\en GL(n,\Bbb R) : \pm\det S > 0\}. $$ Si $n$ es impar, entonces $\phi(E_+) = \phi(E_-) = C_A$ (debido a $\phi(-S) = \phi(S)$) y, por tanto, $C_A$ está conectado. Pero lo que sobre a $n$?
EDIT: acabo de ver que
Lema 1. Si $\det A < 0$, entonces todavía $\phi(E_+) = \phi(E_-)$ y, por tanto, $C_A$ está conectado.
Prueba. De hecho, si $T\in\phi(E_-)$, $T = \phi(S_0)$, $\det S_0 < 0$, a continuación,$\det(S_0A) > 0$$T = \phi(S_0A)\in\phi(E_+)$. El otro inclusión se demuestra de manera similar.
Así que la pregunta se reduce a $n$ a y $\det A\ge 0$.
EDIT2: he Aquí otro hecho.
Lema 2. Si no es $S_0\in E_-$ que conmuta con $A$, $C_A$ está conectado.
Prueba. Deje $T\in C_A$. Demostremos que podemos encontrar un camino dentro de$C_A$$T$$A$. Deje $T = SAS^{-1}$$S\in GL(n,\Bbb R)$. Si $S\in E_+$, nos encontramos con un camino de $S$ $I$ $E_+$y, por tanto, un camino de $C_A$$T$$A$. Si $S\in E_-$, podemos encontrar un camino dentro de$E_-$$S$$S_0$. Su imagen en $\phi$ es de nuevo un camino de $T$ $A$dentro $C_A$.
EDIT 3: Para arbitrario $\lambda\in\Bbb R$ tenemos $C_{A-\lambda I} = C_A - \lambda I$. Como esto es sólo una traducción en $\Bbb R^{n\times n}$$C_A$$\lambda I$, se deduce que el $C_A$ está conectado si y sólo si $C_{A-\lambda I}$ está conectado.
Por lo tanto, podemos concluir lo siguiente: Vamos a $J$ ser el verdadero Jordan en la forma de $A$. A continuación,$C_A = C_J$. Si $A$ tiene un autovalor real $\lambda_0$ que aparece en $J$ $k\times k$ Jordania bloque con $k$ impar, entonces $C_A$ está conectado. De hecho, debido a lo anterior, podemos cambiar $A$ $J$ simultáneamente y por lo tanto asumir que $A$ $J$ es invertible. Deje $\tilde J$$J$, pero con $-\lambda_0$'s en lugar de $\lambda_0$'s en la diagonal de la $k\times k$ Jordania bloque. A continuación, $\tilde J$ viajes con $J$ y por lo tanto también lo hace $\tilde JJ$. Desde $\det(\tilde JJ) < 0$, $C_J = C_A$ está conectado por Lema 2.
Resumen de la crítica de matrices: En el real de Jordan en la forma de cada Jordania bloque correspondiente a un autovalor real tiene el tamaño de $k\times k$ $k$ incluso.
Suponemos que los siguientes son equivalentes:
- $C_A$ está conectado
- Existe $S\in E_-$ que conmuta con $A$.
- Existe un bloque de Jordan $J$ $A$ que $C_J$ está conectado.
- Existe una verdadera impar tamaño de un bloque de Jordan de a $A$.
Sólo pude probar (4)$\Rightarrow$(3), (3)$\Rightarrow$(1), y (2)$\Rightarrow$(1) hasta ahora.
Comentario: Esta pregunta está relacionada con, y motivado por la Conexión de la matriz de clases conjugacy de un fijo real $A$, pero con la primera columna de $A$ invariante