¿Existen sistemas abiertos $U$ y $V$ tal que $U\cap V = \emptyset $ y $ U \cap \tau(V) =\emptyset $?

Question

Estoy en una serie de estudios en el libro de Análisis de Vector escrito por Klaus Janich. Por la página 15 del libro se hace la afirmación (sin prueba explícita) de que podemos elegir (en virtud de las consideraciones que a continuación) abrir conjuntos de $U$ $V$ tal que $U\cap V =\emptyset $$ U \cap \tau(V) =\emptyset $.

En esta página, $\tau:M\to M$ es un punto fijo-libre de involución (es decir, un mapa diferenciable con $\tau\circ\tau=\mathrm{id}_M$ $\tau(x)\neq x$ todos los $x\in M$) y $M$ $m$- dimensiones múltiples.

PREGUNTA. En virtud de estas consideraciones, ¿cómo podemos demostrar que hay abierto conjuntos de $U\neq \emptyset$ $V\neq \emptyset$ tal que $U\cap V = \emptyset $$ U \cap \tau(V) =\emptyset $?

En mis intentos, lo único que he sido capaz de demostrar que son $$ U\cap V=\emptyset\Longleftrightarrow \tau(U)\cap \tau(V)=\emptyset \qquad \mathrm{ y } \qquad U\cap \tau(V)=\emptyset\Longleftrightarrow \tau(U)\cap V=\emptyset $$

Answer 1

Respuesta de Lee Mosher bastante no parece responder a la pregunta por el OP, ya que encuentra $U,V$ tal que $U\cap V=\varnothing$ $U\cap \tau(V)\ne \varnothing$ $U\cap \tau(V)=\varnothing$, sino una modificación de su técnica debe trabajar.

Elegir un % arbitrario $x\in M$y elija $y\ne x,\tau(x)$. Que $V_1,U_1$ ser barrios de $x$ y $y$ tal que $V_1\cap U_1 =\varnothing$y que $V_2,U_2$ ser barrios de $\tau(x)$ y $y$ tal que $V_2\cap U_2=\varnothing$ por Hausdorffness $M$. Que $$U=U_1\cap U_2 \quad\textrm{and}\quad V=V_1\cap \tau(V_2).$$ $U $ and $V $ are both nonempty, since $U $ contains $y $ and $V $ contains $x$. Entonces $$U\cap V \subseteq U_1\cap V_1 =\varnothing\quad \textrm{and}\quad U\cap \tau(V)\subseteq U_2\cap \tau(\tau(V_2))=U_2\cap V_2=\varnothing.$ $

Answer 2

Escoge cualquier $x \in M$. Que $y = \tau(x)$, así que sabemos que $x \ne y$. Puesto que cada múltiple es un espacio de Hausdorff, existen conjuntos abiertos $U,V \subset M$ tal que $x \in U$ y $y \in V$ y $U \cap V = \emptyset$. Desde $\tau(y)=\tau(\tau(x))=x \in U$, se deduce que el $x \in U \cap \tau(V)$% y tan $U \cap \tau(V) \ne \emptyset$.