Escribir AR (1) como un proceso de MA ($\infty$)

Question

El AR(1) el proceso es

$$ X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t $$

si utilizamos esta fórmula de forma recursiva, obtenemos $$ X_t = \phi(\phi X_{t-2} + \varepsilon_{t-1}) + \varepsilon_t = \phi^2X_{t-2} + \phi\varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t = \cdots = \phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t j} $$

Si dejamos $k\to\infty$, obtenemos $$ X_t = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t j}) = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k}) + \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t j} $$ La dualidad entre AR(1) y MA($\infty$) afirma que existe una equivalencia entre los dos, y que podemos escribir $X_t$

$$ X_t = \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t j} $$

La diferencia entre los dos resultados es el término que se $\lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k})$, que debería ser cero, pero ¿cómo puedo mostrar esto?

Asumiendo $|\phi| < 1$, $\lim_{k\to\infty}\phi^k = 0$ de curso, pero no veo por qué no $\lim_{k\to\infty} X_{t-k} < \infty$? ¿Convergencia asuume la ley de los grandes números, o hay otra manera de mostrar la equivalencia?

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Sé que hay una prueba de que invierte el lag operador $1-B$, pero yo no encuentro ninguna justificación de por qué el operador puede incluso ser invertida, de modo que yo quería una alternativa de la prueba, como la de arriba.

Answer 1

El sentido habitual en el que se entiende la convergencia en este caso es en el cuadrado medio :

$$ E [Y_t - (\ epsilon_t + \ phi \ epsilon_ {t-1} + \ phi ^ 2 \ epsilon_ {t-2} + \ ldots + \ phi ^ j \ epsilon_ {tj})] ^ 2 = \ phi ^ {2 (j +1)} E [Y_ {tj-1}] ^ 2 $$ Si$Y_t$ es estacionario $$ E [Y_ {tj-1}] ^ 2 = \ gamma_0 + \ mu ^ 2 $ $ Por lo tanto $$ \ lim_ {j \ to \ infty} E [Y_t - (\ epsilon_t + \ phi \ epsilon_ {t-1} + \ phi ^ 2 \ epsilon_ {t-2} + \ ldots + \ phi ^ j \ epsilon_ {tj})] ^ 2 = 0 $$

Answer 2

Tiene usted derecho a ser sospechoso de este paso, y de hecho, sin más supuestos para limitar el tamaño de $X_{-\infty}$ usted no puede obtener la forma requerida. Recuerde que la ecuación recursiva para el modelo de AR es insuficiente para producir la distribución conjunta del proceso. (Es necesario imponer una distribución del error de proceso, e incluso entonces, usted necesita para imponer la estacionariedad o especificar una distribución inicial que lleva a algunos no estacionario en el modelo). Si sólo tiene esta ecuación recursiva, no hay ninguna razón por la que las series de tiempo de valores no pudo explotar a las grandes valores como $t \rightarrow -\infty$.

Por ejemplo, el determinismo no estacionarias proceso AR $X_t = \phi^t$ satisface la ecuación recursiva especificada (con cero errores), y en este caso, se $\lim_{k \rightarrow \infty} X_{t-k} = \infty$. En este modelo, para cualquier $\phi \neq 0$ también tiene:

$$\phi^k X_{t-k} = \phi^k \phi^{t-k} = \phi^t \neq 0.$$

Dado que los errores son cero en este modelo determinista, esto le da la limitación de resultado:

$$X_t = \underbrace{\sum_{k=0}^\infty \phi^k \varepsilon_{t-k}}_{0} + \underbrace{\lim_{k \rightarrow \infty} \phi^k X_{t-k}}_{\phi^t}. \\[6pt]$$

Claramente, en este caso, la limitación de plazo es distinto de cero, y no puede ser removido por el resultado. Si a usted le gustaría ser capaz de eliminar este último plazo, se necesita agregar más que los supuestos de su modelo (e.g, la estacionariedad).