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Question

Tengo una pregunta de integración que primero sentí que no era un hueso duro de roer. Pero, a medida que procedía, surgieron dificultades. Éste es el indicado:

$\displaystyle\int_{0}^{1}{\frac{3x^3 - x^2 + 2x - 4}{\sqrt{x^2 -3x+2}}dx}$

Seguí simplificando las dos expresiones y finalmente llegué a este paso:

$\displaystyle\int_{0}^{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x-2}} \ (3x^2 + 2x + 4) \ dx}$

Ahora no sé qué hacer si hubiera seguido el camino correcto. ¿Hay algún otro método más simple?

Answer 1

Puede intentar una sustitución hiperbólica:$$\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{\Bigl(x-\frac{3\strut}2\Bigr)^{2}-\frac94+2}=\frac12\sqrt{(2x-3)^2-1},$ $ para que pueda establecer, para$t\ge 0$,$$2x-3=\cosh t\iff x=\frac{\cosh t+3}2,\qquad\mathrm dx=\frac12\sinh t\,\mathrm dt.$ $ y el denominador del integrando se convierta en$\;\frac12\sinh t$.

Después de simplificar, debe obtener la integral de un polinomio cúbico en$\cosh t$.

Answer 2

Se puede ver fácilmente que para$H\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}$ $$ \begin{align} & {{\left( {{x}^{2}}H\left( x \right) \right)}^{\prime }}=\frac{6{{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+8x}{2H\left( x \right)}, \\ & {{\left( xH\left( x \right) \right)}^{\prime }}=\frac{4{{x}^{2}}-9x+4}{2H\left( x \right)}, \\ & {{\left( H\left( x \right) \right)}^{\prime }}=\frac{2x-3}{2H\left( x \right)} \\ \end {align} $$ Esto sugiere que existe$a,b,c\ and\ d$$$\frac{3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-4}{H\left( x \right)}=a{{\left( {{x}^{2}}H\left( x \right) \right)}^{\prime }}+b{{\left( xH\left( x \right) \right)}^{\prime }}+c{{\left( H\left( x \right) \right)}^{\prime }}+\frac{d}{H\left( x \right)}$ $ Therefore$$\frac{3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-4}{H\left( x \right)}=a\frac{6{{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+8x}{2H\left( x \right)}+b\frac{4{{x}^{2}}-9x+4}{2H\left( x \right)}+c\frac{2x-3}{2H\left( x \right)}+\frac{d}{H\left( x \right)}$ $ o$$3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-4=\frac{a}{2}\left( 6{{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+8x \right)+\frac{b}{2}\left( 4{{x}^{2}}-9x+4 \right)+\frac{c}{2}\left( 2x-3 \right)+d$ $ Igualar los coeficientes produce $$ \begin{align} & a=1 \\ & -15a+4b=-2 \\ & 8a-9b+2c=4 \\ & 4b-3c+2d=-8 \\ \end {align} $$ y obtenemos$$a=1,b=\frac{13}{4},c=\frac{101}{16},d=\frac{135}{16}$ $ Finally$$\int{\frac{3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-4}{H\left( x \right)}dx={{x}^{2}}H\left( x \right)}+\frac{13}{4}xH\left( x \right)+\frac{101}{16}H\left( x \right)+\frac{135}{16}\int{\frac{dx}{H\left( x \right)}}$ $