Aquí es una extensión del teorema de Ceva, que incorpora la concurrencia de las mediatrices (y, en realidad, (casi) cualquier trío de líneas).
Vamos a líneas distintas $p := \overleftrightarrow{P_1P_2}$, $q := \overleftrightarrow{Q_1Q_2}$, $r := \overleftrightarrow{R_1R_2}$ cumplir con los (extended) de los bordes de la no-degenerada $\triangle ABC$ tal que
$$P_1 = A + p_1 (B-A) \qquad Q_1 = B + q_1 (C-B) \qquad R_1 = C + r_1(A-C)$$
$$P_2 = A + p_2 (C-A) \qquad Q_2 = B + q_2 (A-B) \qquad R_2 = C + r_2(B-C)$$
para algunos $p_1$, $p_2$, $q_1$, $q_2$, $r_1$, $r_2$. Entonces $p$, $q$, $r$ de acuerdo, si y sólo si
$$\begin{array}{c}
p_1 q_1 r_1 ( 1 - p_2 - q_2 - r_2 ) + p_2 q_2 r_2 ( 1 - p_1 - q_1 - r_1 ) \\[4pt]
+\; p_1 q_1 \; q_2 r_2 \;+\; q_1 r_1 \; r_2 p_2 \;+\; r_1 p_1 \; p_2 q_2 \quad = \quad 0
\end{array} \qquad (\estrella)$$
(Prueba ---por ejemplo, el uso de sencillo vector métodos--- se deja como ejercicio para el lector.)
Al $p_1 = q_1 = r_1 = 1$, luego $p$, $q$, $r$ son cevians a través de $B$, $C$, $A$, respectivamente, y $(\star)$ reduce a
$$( 1 - p_2 )( 1 - q_2 )( 1 - r_2 ) = p_2 q_2 r_2 \qquad (\star\star)$$
el que rescata del Teorema de Ceva.
Si $p$, $q$, $r$ son perpendiculares a $\overline{AB}$ (de longitud $c$), $\overline{BC}$ (de longitud $a$), $\overline{CA}$ (de longitud $b$), respectivamente, entonces, a través de triángulo rectángulo $\triangle AP_1 P_2$,
$$|AP_1| = |AP_2|\cos A \quad\implies\quad c p_1 = b p_2 \cos A = b p_2 \frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}$$
de dónde
$$
p_2 = \frac{2 c^2 p_1}{-a^2+b^2+c^2} \qquad
q_2 = \frac{2^2 q_1}{a^2-b^2+c^2} \qquad
r_2 = \frac{2 b^2 r_1}{a^2+b^2-c^2}$$
y (para los no-degenerada $\triangle ABC$) condición de $(\star)$ reduce a
$$a^2 + b^2 + c^2 = 2 \left( a^2 q_1 + b^2 r_1 + c^2 p_1 \right) \qquad (\star\star\star)$$
Si $p$, $q$, $r$ son, más específicamente, perpendicular bisectrices del triángulo de los bordes, a continuación,$p_1 = q_1 = r_1 = 1/2$. Esto satisface $(\star\star\star)$, por lo que las líneas son concurrentes.
Edit. Después de despedir esta idea de todo un poco, se me ocurrió una mejor interpretación de los Ceva extensión, incluyendo una más-Ceva-como la versión de $(\star)$. Voy a aprovechar esta oportunidad para cambiar el nombre de algunos puntos.
Extendida del Teorema de Ceva. Considerar los puntos de $D_1$, $D_2$, $E_1$, $E_2$, $F_1$, $F_2$ en el (extended) de los bordes de $\triangle ABC$, con $D_i$, $E_i$, $F_i$ en el (ampliada) del borde opuesto del vértice $A$, $B$, $C$, respectivamente.
![Extended Ceva' Theorem]()
Líneas $\overleftrightarrow{D_1E_2}$, $\overleftrightarrow{E_1F_2}$, $\overleftrightarrow{F_1D_2}$ de acuerdo, si y sólo si
$$\begin{align}
1 &= \frac{|BD_1|}{|D_1C|} \frac{|CE_1|}{|E_1A|} \frac{|AF_1|}{|F_1B|}
+ \frac{|D_2C|}{|BD_2|} \frac{|E_2A|}{|CE_2|} \frac{|F_2B|}{|AF_2|} \\[6pt]
&+ \frac{|BD_1|}{|D_1C|} \frac{|D_2C|}{|BD_2|}
+ \frac{|CE_1|}{|E_1A|} \frac{|E_2A|}{|CE_2|}
+ \frac{|AF_1|}{|F_1B|} \frac{|F_2B|}{|AF_2|} \qquad\qquad (\star\star\star\star)
\end{align}$$
Nota: Los usos anteriores firmado longitudes, con $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}$ indica la dirección de una manera positiva-firmado segmento en cada uno de los laterales del triángulo.
Tenemos Ceva del Teorema de vuelta de la Extendida del Teorema de Ceva moviendo $D_2$, $E_2$, $F_2$ coincidiendo con $C$, $A$, $B$, respectivamente, por lo que el $|D_2C| = |E_2A| = |F_2B| = 0$; esto elimina todos, pero el primer término del lado derecho de la $(\star\star\star\star)$.
Para la perpendicular de la variante, con las tres líneas ("orthians"?) perpendicular a los lados de $\triangle ABC$ a $D_1$, $E_1$, $F_1$, podemos escribir
$$|D_2C| = |BC| - |BD_2| \qquad
|E_2A| = |CA| - |CE_2| \qquad
|F_2B| = |AB| - |AF_2|$$
y luego también
$$|BD_2| = -\frac{|F_1B|}{\cos B} \qquad
|CE_2| = -\frac{|D_1C|}{\cos C}\qquad
|AF_2| = -\frac{|E_1A|}{\cos A}$$
(los negativos de mantener las relaciones de la firma longitudes). Expresan los cosenos en términos de las longitudes de los triángulos en los bordes y, a continuación, expresar esas longitudes como
$$|BC| = |BD_1|+|D_1C| \qquad |CA| = |CE_1| + |E_1C| \qquad |AB| = |AF_1|+|F_1B|$$
la ecuación de $(\star\star\star\star)$, finalmente, se reduce a algo mucho más bonitas que las de $(\star\star\star)$; es decir,
$$|BD_1|^2 + |CE_1|^2 + |AF_1|^2 = |D_1C|^2 + |E_1A|^2 + |F_1B|^2$$
(En una reciente respuesta, que yo llamo el resultado anterior "Ortha del Teorema" y proporcionar un stand-alone prueba geométrica.)
