11 votos

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<blockquote> <p>Probar cada % real $a,b$: $$a^4+b^4+1\ge a+b$ $</p> </blockquote> <p>Lo que he probado:</p> <p>1.I comprobar cómo AM-GM puede ayudar pero no se ve como es útil aquí.</p> <ol start="2"> <li>He probado:</li> </ol> <p>$$(a^2+b^2)^2 -2(ab)^2+1 \ge a+b$$</p> <p>Pero lamentablemente, no puedo encontrar alguna manera de seguir esto... Estoy seguro que esto no es demasiado difícil, es sólo que "No lo veo", te lo agradeceria si pistas son dados primero por lo que puedo responder a este mismo.</p> <p>* Este ejercicio es de los exámenes de entrada TAU.</p>

18voto

wujj123456 Puntos 171

Tenga en cuenta que, por la desigualdad de AM-GM, $$x^4+\frac{1}{2}=x^4+3\left(\frac{1}{6}\right)\geq 4\sqrt[4]{x^4\left(\frac{1}{6}\right)^3}=\sqrt[4]{\frac{256}{216}}\,|x|\geq |x|\geq x$$ for all $x\in\mathbb{R} $. La igualdad no tiene, sin embargo.


Una desigualdad más aguda es $a^4+b^4+\frac{3}{\sqrt[3]{2}^5}\geq a+b$. Esto es porque % $ $$x^4+\frac{3}{\sqrt[3]{2}^8} =x^4+3\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}^8}\right)\geq 4\sqrt[4]{x^4\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}^8}\right)^3}=|x|\geq x\,.$las desigualdades anteriores es una igualdad si y sólo si $x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}^2}$.

17voto

mengdie1982 Puntos 49
<h1>A prueba de</h1> <p>Desde $$\left(a^4-a^2+\frac{1}{4}\right)+\left(b^4-b^2+\frac{1}{4}\right)=\left(a^2-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b^2-\frac{1}{2}\right)^2 \geq0,$ $ por lo tanto, $$a^4+b^4+1 \geq a^2+b^2+\frac{1}{2}.\tag1$ $</p> <p>Desde ahí, $ de $$\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2 \geq 0,$ $$a^2+b^2+\frac{1}{2} \geq a+b.\tag2$ $</p> <p>La combinación de $(1)$ y $(2)$, $$a^4+b^4+1 \geq a+b.$ $</p>

7voto

gimusi Puntos 1255

Tenemos

$$a^4+b^4+1\ge a+b\iff a^4-a+b^4-b+1\ge 0$$

y es fácil mostrar que

$$f(x)=x^4-x\implies f'(x)=4x^3-1\implies x{min}=\frac1{4^\frac13}\quad f(x)\ge f(x{min})\approx-0.4725$$

3voto

The Short One Puntos 61

Pistas solo en esta respuesta, ya que dijiste que querías descubrir la respuesta tú mismo.

¿Has intentado probarlo para números positivos mayores que$2$? El cuadrado de tal número es obviamente mayor que$2$, y mucho más el biquadrate. Pruébelo para esos números y la respuesta es obvia para números negativos inferiores a$-2$.

Donde se pone realmente complicado es en el intervalo de la unidad. Digamos$$a = b = \frac{1}{2}.$$ Then $$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16},$$ so $$a^4 + b^4 = \frac{1}{8},$$ which is actually less than either $ a$ or $ b$ alone. But then you get to add $ 1 $ a eso ... .

2voto

zwim Puntos 91

Tengamos$4c^3=1$ y$f(a)=a^4-a+\frac 12$

$ \begin{align}\require{cancel}f(c+u)-f(c) &=\cancel{c^4}+\cancel{4c^3u}+6c^2u^2+4cu^3+u^4-\cancel{c}-\cancel{u}+\cancel{\frac 12}-\cancel{c^4}+\cancel{c}-\cancel{\frac 12}\\ &=u^2\underbrace{(u^2+4cu+6c^2)}_{\Delta=-8c^2<0}\ge 0\end {align} $

Entonces$f(c)$ es un mínimo y$f(a)\ge f(c)\approx0.0275>0$

La conclusión surge de$f(a)+f(b)>0$.

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