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¿Demasiados anuncios?Tenga en cuenta que, por la desigualdad de AM-GM, $$x^4+\frac{1}{2}=x^4+3\left(\frac{1}{6}\right)\geq 4\sqrt[4]{x^4\left(\frac{1}{6}\right)^3}=\sqrt[4]{\frac{256}{216}}\,|x|\geq |x|\geq x$$ for all $x\in\mathbb{R} $. La igualdad no tiene, sin embargo.
Una desigualdad más aguda es $a^4+b^4+\frac{3}{\sqrt[3]{2}^5}\geq a+b$. Esto es porque % $ $$x^4+\frac{3}{\sqrt[3]{2}^8} =x^4+3\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}^8}\right)\geq 4\sqrt[4]{x^4\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}^8}\right)^3}=|x|\geq x\,.$las desigualdades anteriores es una igualdad si y sólo si $x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}^2}$.
Pistas solo en esta respuesta, ya que dijiste que querías descubrir la respuesta tú mismo.
¿Has intentado probarlo para números positivos mayores que$2$? El cuadrado de tal número es obviamente mayor que$2$, y mucho más el biquadrate. Pruébelo para esos números y la respuesta es obvia para números negativos inferiores a$-2$.
Donde se pone realmente complicado es en el intervalo de la unidad. Digamos$$a = b = \frac{1}{2}.$$ Then $$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16},$$ so $$a^4 + b^4 = \frac{1}{8},$$ which is actually less than either $ a$ or $ b$ alone. But then you get to add $ 1 $ a eso ... .
Tengamos$4c^3=1$ y$f(a)=a^4-a+\frac 12$
$ \begin{align}\require{cancel}f(c+u)-f(c) &=\cancel{c^4}+\cancel{4c^3u}+6c^2u^2+4cu^3+u^4-\cancel{c}-\cancel{u}+\cancel{\frac 12}-\cancel{c^4}+\cancel{c}-\cancel{\frac 12}\\ &=u^2\underbrace{(u^2+4cu+6c^2)}_{\Delta=-8c^2<0}\ge 0\end {align} $
Entonces$f(c)$ es un mínimo y$f(a)\ge f(c)\approx0.0275>0$
La conclusión surge de$f(a)+f(b)>0$.