saber: $\cos x+\sin x=\frac{5}{4}$, obtener: $\cos(4x)$

Question

<blockquote> <p>saber: $\cos x+\sin x=\frac{5}{4}$,</p> <p>obtener: $\cos(4x)$</p> </blockquote> <p>$$\cos x+\sin x=\frac{5}{4}$$ $$\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=\frac{25}{16}$$ $$\sin2x=\frac{25}{16}-\frac{16}{16}=\frac{9}{16}$$</p> <p>$$\cos4x=1-2\sin^22x=1-2\Bigl(\frac{9}{16}\Bigr)^2=\frac{47}{128}$$</p> <p>Sacado de una de las pruebas de entrada TAU pero desgraciadamente, no dan soluciones a la mayoría de los ejercicios, así que... ¿Estoy correcto?</p>

Answer 1

Su cálculo es correcto, y bastante elegante.

Un punto que no puede ir tan bien es que su argumento se compone sólo de cuatro ecuaciones, sin explicaciones verbales o una indicación de las conexiones lógicas entre estas ecuaciones. Sin embargo, el argumento es corto y transparente, no creo que se haría más legible o más fácil de seguir si envuelto en palabras como "elevando Al cuadrado ambos lados de la premisa de $$\cos x + \sin x = \frac{5}{4}$$ we obtain the equation $$\cos^2 x + \sin^2 x + 2\sin x \cos x = \frac{25}{16}$$ which, after using the trigonometric identity $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ y reorganización de los rendimientos ...".

Por el contrario, en este caso que sólo añadiría el desorden, en mi opinión. Pero empezándolo con una observación a lo largo de las líneas de "En el siguiente, cada ecuación se sigue de la anterior mediante la aplicación de una operación elemental y/o trigonométricas de identidad" no sería perjudicial.

Answer 2

Otra forma de hacerlo es como sigue-

$\cos x+\sin x=\frac{5}{4}$, obtener: $\cos(4x)$

$$\Rightarrow 4\cos x + 4\sin x = 5$$ $$\Rightarrow 16 \cos^2x +25-40 \cos x = 16 \sin x$$ $$\Rightarrow 15 \cos^2x -56 \sin x+25=0$$ $$\Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{409}}{15}$$

Ahora, conociendo el valor de x, el valor coseno de $4x$ puede calcularse de la manera similar.