Esta no es una respuesta, pero un comentario extendido, que debe ayudar a cualquier persona interesada en el uso de la fuerza bruta numérica de búsqueda para encontrar la solución.
El problema es encontrar a $n \in \mathbb{N}$ para los que
$$7921 \sigma(n) = 15840 n \tag{1}\label{NA1}$$
donde $\sigma(n)$ es la suma de todos los divisores de a $n$, tal como se define en la Wikipedia divisor función del artículo, y como una secuencia en OEIS A000203.
Debido a $\sigma(n) = n + 1$ si $n$ es un número primo, y
$$7921 (n + 1) \ne 15840 n, \quad n \in \mathbb{N}$$
ya sabemos que no es la primer solución a $\eqref{NA1}$.
Considerar la descomposición en factores primos de a $n$. Deje $p_i \in \mathbb{N}$ ser no repetitivos de los números primos ($p_i = p_j$ si y sólo si $i = j$), y $1 \le k_i \in \mathbb{N}$. A continuación,
$$n = \prod_{i=0}^{N-1} p_i^{k_i}$$
y
$$\sigma(n) = \prod_{i=0}^{N-1} \frac{p_i^{k_i+1} - 1}{p_i - 1}$$
debido a $\sigma(p^k) = \sum_{j=0}^{k} p^j = (p^{k+1}-1)/(p-1)$ al $p$ es un primo.
Ahora podemos reescribir el problema de $\eqref{NA1}$
$$7921 \prod_{i=0}^{N-1} \frac{p_i^{k_i+1} - 1}{p_i - 1} = 15840 \prod_{i=0}^{N-1} p_i^{k_i} \tag{2}\label{NA2}$$
Reordenando los términos de los rendimientos
$$\prod_{i=0}^{N-1} \frac{ p_i^{k_i + 1} - p_i^{k_i} }{ p_i^{k_i + 1} - 1 } = \frac{7921}{15840} = \frac{n}{\sigma(n)} = \frac{89^2}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11}
\etiqueta{3}\label{NA3}$$
Nota: el término
$$f_i = \frac{ p_i^{k_i + 1} - p_i^{k_i} }{ p_i^{k_i + 1} - 1 } = \frac{p_i^{k_i}}{\sum_{j=0}^{k_i} p^j}, \quad \frac{1}{2} \lt f_i \lt 1
\etiqueta{4}\label{NA4}$$
es decir,
$$\begin{array}{ll}
f_i = \frac{p_i}{p_i + 1}, & k_i = 1 \\
f_i = \frac{p_i^2}{p_i^2 + p_i + 1}, & k_i = 2 \\
f_i = \frac{p_i^3}{p_i^3 + p_i^2 + p_i + 1 }, & k_i = 3 \\
f_i = \frac{p_i^{k_i}}{p_i^{k_i} + p_i^{k_i-1} + \dots + p_i + 1 } & \\
\end{array}$$
Por lo tanto, el número de búsqueda de problema se reduce ahora a encontrar el conjunto de términos $f_i$ sobre la base de los números primos $p_i$ y sus poderes positivos $k_i$, de modo que el producto $$\prod_{i=0}^{N-1} f_i = \frac{7921}{15840}$$
En particular, debido a que $f_i \lt 1$, un conjunto particular puede ser rechazado inmediatamente si el producto cae por debajo de la meta de relación.
Por ejemplo, si $p_0 = 89$, $k_0 = 2$, para eliminar el primer factor en el numerador. La repetición, que conduce a la $p_1 = 8011$, $k_1 = 1$; $p_2 = 2003$, $k_2 = 1$; y $p_3 = 167$, $k_3 = 1$, para nosotros llegar a un resultado con un compuesto de numerador y denominador:
$$\begin{array}{r|l|l}
n & \frac{n}{\sigma(n)} & \frac{15840 n}{7921 \sigma(n)} \\
\hline
89^2 \cdot 8011 \cdot 2003 \cdot 167
& \frac{7921}{8064} = \frac{7921}{2^7 \cdot 3^2 \cdot 7}
& \frac{55}{28} = \frac{5 \cdot 11}{2^2 \cdot 7}
\\ 89^2 \cdot 8011 \cdot 2003 \cdot 167 \cdot 7
& \frac{7921}{9216} = \frac{7921}{2^{10} \cdot 3^2}
& \frac{55}{32} = \frac{5 \cdot 11}{2^5}
\\ 89^2 \cdot 8011 \cdot 2003 \cdot 167 \cdot 2
& \frac{7921}{12096} = \frac{7921}{2^6 \cdot 3^3 \cdot 7}
& \frac{55}{42} = \frac{5 \cdot 11}{2 \cdot 3 \cdot 7}
\\ 89^2 \cdot 8011 \cdot 2003 \cdot 167 \cdot 2 \cdot 7
& \frac{7921}{13824} = \frac{7921}{2^9 \cdot 3^3}
& \frac{55}{48} = \frac{5 \cdot 11}{2^4 \cdot 3}
\\ 89^2 \cdot 8011 \cdot 2003 \cdot 167 \cdot 2^2
& \frac{7921}{14112} = \frac{7921}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 7^2}
& \frac{55}{49} = \frac{5 \cdot 11}{7^2}
\\ \end{array}$$
Si anexa $p_5 = 7$, $k_5 = 1$ o $k_5 = 2$ $n$en la última fila de arriba a la derecha del campo cae por debajo de 1 (a$55/56$$k_5 = 1$, e $55/57$$k_5 = 2$), lleva a ninguna parte. Del mismo modo, anexando $p_6 = 3$, $k_6 = 1$ o $k_6 = 2$ $n$en el segundo a la última fila (a$55/64$$k_6 = 1$, e $165/208$$k_6 = 2$) conduce a ninguna parte.
Parece (muy no-matemático) que me de una búsqueda exhaustiva sobre los números primos $p$ es posible, debido a los términos de $f_i$ con una potencia de un primo en el numerador, como se especifica en $\eqref{NA4}$. Si una búsqueda exhaustiva de si es posible o no, es una pregunta abierta (y es importante para aquellos que buscan la prueba), pero el numéricos eficientes fuerza bruta de las estrategias de búsqueda son sencillas, especialmente si uno está buscando algunas otras relaciones de $\frac{n}{\sigma(n)} = \frac{7921}{15840}$.
Para continuar con la búsqueda anterior, que había necesidad de un primer $p$ y un entero positivo $k$ tal que $\sum_{j=0}^{k} p^j = 55$ (a ceder un factor denominador $55$). No hay tal par existe, por lo que las estrategias de búsqueda he encontrado hasta el momento se han agotado.
Con suerte, uno de los de matemáticas sabios aquí puede tomar esta lejos de aquí.
