Uso de la gente de teoría de la medida en tándem con formas diferenciales todo el tiempo-no hay contradicción alguna entre los formalismos. Ser conscientes, sin embargo, que el adjetivo "de Riemann" en el contexto de la geometría diferencial se refiere a las construcciones en función de Riemann métricas (que son "de Riemann", en el sentido de origen en la obra de Bernhard Riemann), no a la integración de Riemann.
Supongamos que $M$ liso $n$-colector. Por definición, es localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^n$, de modo que usted puede definir un conjunto $S \subset M$ ser medible si y sólo si $x(S \cap U) \subset \mathbb{R}^n$ es Lebesgue medible para cada local de coordenadas del gráfico de $x: U \to x(U) \subset \mathbb{R}^n$. Esto le da un $\sigma$-álgebra de Lebesgue medibles se pone en $M$ que completa correctamente el Borel $\sigma$-álgebra generada por el abierto se pone en $M$ como un espacio topológico. En este punto, usted tiene todo lo que necesita para definir funciones medibles, campos vectoriales, formas diferenciales, tensor de campos, etc., de una manera compatible con los cálculos en coordenadas locales.
Ahora, supongamos que el $M$ es una de Riemann del colector, de forma que viene equipado con una métrica de Riemann $g$-de nuevo, el "de Riemann" aquí no se refieren a la integración de Riemann, pero a Riemann, de sí mismo y de su trabajo en la geometría diferencial. En cualquier local de coordenadas del gráfico de $x : U \to x(U) \subset \mathbb{R}^n$, se puede definir una medida $\lambda_{g,x}$ $U$ mediante el establecimiento de
$$
\lambda_{g,x}(S \cap U) := \int_{x(S \cap U)} \sqrt{\det\left(g\left(\tfrac{\partial}{\partial x^i},\tfrac{\partial}{\partial x^j}\right)\right)} \,d\lambda
$$
para cualquier Lebesgue medibles $S \subset M$ donde $\lambda$ denota la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$. Por paracompactness del colector $M$, uno puede cubrir $M$ por un localmente finito abra la cubierta de tales coordenadas local de gráficos, y por lo tanto utilizar un suave partición de la unidad subordinada a esta cubierta, a la revisión de estos locales a escala pullbacks de medida de Lebesgue juntos en una sola medida $\lambda_g$, la de Riemann medida [!] en $M$ con respecto al $g$, lo cual es una total $\sigma$-finito medida en la $\sigma$-álgebra de Lebesgue medibles pone en $M$.
Ahora permítanme describir las propiedades básicas de $\lambda_g$.
La medida de $\lambda_g$ es compatible con los cálculos en coordenadas locales, en el preciso sentido de que $\lambda_g(S \cap U) = \lambda_{g,x}(S \cap U)$ para cualquier Lebesgue medibles $S$ local y de coordinar gráfico de $x : U \to x(U) \subset \mathbb{R}^n$.
Si $g^\prime$ es cualquier otra métrica de Riemann, entonces las medidas de Riemann $\lambda_g$ $\lambda_{g^\prime}$ será mutuamente absolutamente continuas $\sigma$-finito medidas con suave Radon–Nikodym derivados computable directamente en términos de $g$$g^\prime$.
Supongamos que $M$ es orientable, y deje $\mathrm{vol}_g \in \Omega^n(M)$ ser la de Riemann forma de volumen definido por $g$. Entonces para cualquier Riemann integrable $f$$M$,
$$
\int_M f \, \mathrm{vol}_g = \int_M f \,d\lambda_g,
$$
de modo que $\lambda_g$ es realmente el (completado) el Radón medida en $M$ correspondiente a los funcionales positivos $C_c(M) \ni f \mapsto \int_M f \, \mathrm{vol}_g$ a través de la representación de Riesz teorema. En otras palabras, la integración con respecto a la $\lambda_g$ es realmente el "Lebesgue-ification" de la integración en contra de la parte superior-grado de la forma $\mathrm{vol}_g$.
Una vez que usted ha construido la de Riemann medida en el colector de Riemann $(M,g)$, el cielo es ahora el límite se puede construir a $L^p$ y Sobolev en espacios de funciones, campos vectoriales, formas diferenciales, tensor de campos, etc., y, en particular, se puede utilizar para estudiar, por ejemplo, la geometría diferencial parcial de los operadores (por ejemplo, las generalizaciones de la Laplaciano y el operador de Dirac) y sus correspondientes ecuaciones diferenciales parciales (por ejemplo, el calor ecuaciones) a gran matemático efecto. Como un matemático investigador, yo personalmente estoy más familiarizado con la matemática de los ecosistemas, centrado alrededor de la Atiyah–Singer índice teoremaque relaciona las cantidades de topología algebraica funcional-analítica de los cálculos de Riemann variedades, pero usted debe ser consciente de, por ejemplo, que Perelman de la prueba de la conjetura de Poincaré involucrados el análisis detallado de una cierta altamente no-lineal de la PDE para la métrica de Riemann en sí mismo [!]. Tal vez el más accesible ejemplo de estos métodos en acción es la teoría de Hodge, que básicamente se calcula la cohomology de un colector compacto en términos de soluciones de la ecuación de Laplace (con respecto a algunos métrica de Riemann) en formas diferenciales de los diversos grados.
P. S. la Gente tiende a tomar la extensión de la teoría de Lebesgue de $\mathbb{R}^n$ a los colectores más o menos por sentado, de manera precisa las cuentas de esto puede ser extrañamente difícil de encontrar. Sin embargo, una precisa si breve cuenta de la teoría de Lebesgue en los colectores se pueden encontrar en Dieudonné del Tratado de Análisis, Volumen 3, Sección 16.22 (especialmente Teorema de 16.22.2 y la discusión siguiente). Dieudonné no requiere de una métrica de Riemann, pero el punto es que la métrica de Riemann da una canónica de la elección de la medida de Lebesgue en el sentido de Dieudonné, exactamente de la misma manera que se da un canónica forma de volumen en el orientable caso. De hecho, las medidas de Lebesgue en el sentido de Dieudonné puede ser identificado con ningún lugar de fuga $1$-densidades, y la construcción de la de Riemann de medida $\lambda_g$ es realmente la construcción de la canónica $1$-densidad de $\lvert \mathrm{vol}_g \rvert$ asociado a $g$.
ANEXO
Se puede definir un medibles $k$-forma en $M$ a ser un mapa de $\omega : M \to \wedge^k T^\ast M$, de tal manera que el siguiente sostenga.
- Para cada $x \in X$, $\omega(m) \in \wedge^k T^\ast M_m$ (es decir, $\omega$ es un conjunto teórico de la sección de $\wedge^k T^\ast M$).
- Para cada local de coordenadas del gráfico de $x : U \to x(U) \subset \mathbb{R}^n$, el pullback $(x^{-1})^\ast \omega : x(U) \to \wedge^k \mathbb{R}^n$ definido por
$$
(x^{-1})^\ast\omega := \sum_{i_1 < \cdots < i_k} \omega\left(\tfrac{\partial}{\partial x^{i_1}},\dotsc,\tfrac{\partial}{\partial x^{i_k}}\right) dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}
$$
(con los habituales abusos de notación) es medible; este resulta ser equivalente a la necesidad de que $\omega(X_1,\dotsc,X_k) : M \to \mathbb{R}$ ser medibles (en el anterior sentido) para cualquier liso campos vectoriales $X_1,\dots,X_k \in \mathfrak{X}(M)$.
Ahora, supongamos que el $N$ es una orientada a $k$-dimensiones submanifold de $M$ (compacto y sin límite, por simplicidad), y deje $x : U \to x(U) \subset \mathbb{R}^n$ ser un local de coordenadas del gráfico de $M$, de tal manera que $x(N \cap U) = V_{x,N} \times \{0\}$ para algunos $V_{x,N} \subset \mathbb{R}^k$, y de tal manera que la restricción de $x$ a un diffeomorphism $N \cap U \to V_{x,N}$ es de la orientación de la preservación. Entonces podemos definir
$$
\int_{N \cap U} \omega := \int_{V_{x,N}} \omega\left(\tfrac{\partial}{\partial x^{1}},\dotsc,\tfrac{\partial}{\partial x^{k}}\right) \lambda_{\mathbb{R}^k}
$$
cada vez que la integral de Lebesgue en el lado derecho existe (con $\lambda_{\mathbb{R}^k}$ la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^k$). Podemos entonces definir $\omega$ a ser integrable en $N$ siempre es integrable en este camino de $N \cap U$ para cualquier local de coordenadas del gráfico de $x : U \to \mathbb{R}^n$, y luego, por exactamente los mismos argumentos que en la integral de Riemann caso, el parche de estos locales integrales en un mundial de la integral de Lebesgue $\int_N \omega$, que resulta ser independiente de todas las opciones de coordenadas local gráfico y la partición de la unidad en el camino.
