Supongamos que $a_1,a_2,\cdots ,a_n$, donde $a_i$ es un entero positivo $$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}=k$ $, y $k$ es un entero. ¿Es cierto que siempre existen $1\leq i_1<i_2 i_m="" n="" que="">Yo no podía encontrar cualquier contraejemplos o demostrar que siempre podemos encontrar tal subconjunto.
</i_2>
Cómo acerca de $\frac 13+4\cdot \frac 15+6\cdot \frac 17+\frac 1{105}=2$?
Si los ponemos sobre un denominador común, es $105$, por lo que necesitamos encontrar una subcolección de $1,21,21,21,21,15,15,15,15,15,15,35$ que suma a $105$. Si tomamos todos los que terminan en $1$ para obtener un múltiplo de $5$ tenemos $85$ y no se puede completar. Si excluimos a todos los que terminan en $1$ estamos atrapados de nuevo.
Para una lista menor de permitir repeticiones, no es $\frac 12+2\cdot \frac 13+4\cdot \frac 15+\frac 1{30}=2$ creo que ocho términos será difícil de batir.
Agregó: podemos encontrar un conjunto de repetición. Puedo encontrar los recíprocos de $2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,144,2574,30030$ agregar a $2$ y ningún subconjunto de los recíprocos añadir a $1$.
Se trata de una extensión de comentario de @Michael Lugo.
La Proposición no es verdadera incluso si todos los denominadores tienen que ser únicos. Un contraejemplo: $(2,3,4,5,7,8,9,10,12,14,16,49,35280)$.
Aquí está un programa Python que comprueba que estos números son diferentes, y la suma de los recíprocos de estos números es 2, y que no existe ningún subconjunto de los números, donde la suma de los recíprocos de los números en el subconjunto 1 :
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