Estoy interesado en la Proposición 3.5 en Milne del libro "Etale Cohomology," que dice que una presheaf en un noetherian sitio es una gavilla si satisface la gavilla axioma con respecto a lo finito de los cubrimientos. Por cierto, un sitio es noetherian si cada cubriendo tiene un número finito de subcovering (por ejemplo, abrir la pone en un noetherian espacio). Milne demuestra por un elementwise de cálculo, pero me pregunto si hay un resumen de tonterías-tipo de argumento que funciona, por ejemplo, poleas con valores en una arbitraria cocomplete categoría. Siento que hay algún tipo de cofinality argumento al acecho alrededor de la cual no acabo de formular.
Respuesta
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En primer lugar, usted tiene que formular la gavilla axioma correctamente, es decir, con tamices. Para facilitar la notación voy a trabajar con el estándar sitio de un espacio topológico – será claro cómo hacer esto para un sitio en general.
Recordemos que un colador (de bloques abiertos) es una colección de $\mathfrak{U}$ de abrir conjuntos con la siguiente propiedad: si $U \in \mathfrak{U}$$U' \subseteq U$,$U' \in \mathfrak{U}$. Un tamiz $\mathfrak{U}$ cubre $V$ si $V = \bigcup_{U \in \mathfrak{U}} U$. La gavilla condición en un presheaf $F$ entonces se puede enunciarse de la siguiente manera:
- Si $\mathfrak{U}$ es un tamiz que cubre $V$, entonces el diagrama $$F (V) \to \prod_{U \in \mathfrak{U}} F (U) \rightrightarrows \prod_{U \in \mathfrak{U}} \prod_{U' \subseteq U} F (U')$$ es un ecualizador, donde una de las flechas es definida por la proyección y el otro por la restricción.
Es sencillo comprobar que esta condición es equivalente a la usual. El siguiente paso es probar el siguiente:
- Si $F$ satisface la gavilla condición para que el tamiz $\mathfrak{U}'$$\mathfrak{U}' \subseteq \mathfrak{U}$, $F$ satisface la gavilla condición para $\mathfrak{U}$.
Finalmente, se observa que en un noetherian topológica del espacio, cubriendo cada tamiz contiene un finitely generado cubriendo tamiz. Por lo tanto, es suficiente para comprobar la gavilla condición en finitely generado cubriendo tamices, o, equivalentemente, finito cubre.
