Su argumento no es válido: no es cierto que el cociente de un grupo que no es un trivial producto directo no es un trivial directa del producto. Por ejemplo, el grupo de cuaterniones $Q_8$ no es un trivial producto directo (ya que de lo contrario sería abelian), pero tiene un cociente isomorfo a $C_2 \times C_2$.
Pero el resultado que usted desea es cierto. $L_2(2) \cong S_3$ no es un trivial directa del producto (de nuevo, ya que de lo contrario sería abelian), y tampoco es $L_2(3) \cong A_4$ (su única trivial subgrupo normal es $C_2 \times C_2$). Para todos los más altos valores de $q$ es bien conocido que el $L_2(q)$ es simple, por lo tanto no tiene trivial normal subgrupos.
Yo en realidad no saben lo difícil que es demostrar que estos grupos son simples. Puedo demostrar directamente que no son productos directos si $q$ es primo. Primero, se observa que la $\text{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$ actos doble transitivamente y fielmente en la línea proyectiva $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$. De ello se desprende que la representación correspondiente a esta permutación representación se descompone como suma directa de la representación trivial y una irreductible fiel representación de $V$ de la dimensión de $q$. Si $\text{PSL}_2(\mathbb{F}_q) \cong G \times H$, $V \cong V_G \otimes V_H$ donde $V_G, V_H$ son irreductibles fieles representaciones de $G, H$.
Desde $q$ es primo, se sigue WLOG que $\dim V_G = p, \dim V_H = 1$, de ahí que $H$ es cíclico. Desde $H$ es normal, debe ser central, pero $\text{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$ no tiene un centro; la contradicción.
