Demuestre que estos dos ángulos son iguales

Question

Me han pasado un montón de tiempo para resolver este problema sin éxito! Estos son la lista de mis ideas iniciales: 1 - sé que los dos triángulos son semejantes. 2 - sé que AC es una bisectriz. 3 - he considerado que la totalidad de la forma como un cuadrilátero con dos diagonales. 4 - me dibujó líneas paralelas de diferentes puntos para hacer los paralelogramos. 5 - traté de usar la trigonometría.

Answer 1

$\qquad\qquad\qquad$

Deje $E\ (\not=C)$ ser un punto en la línea $CM$ tal que $MC=ME$, y deje $F$ ser el punto de intersección de $BD$$CE$. Desde el cuadrilátero $AEBC$ es un paralelogramo, tenemos $\angle{EBA}=\angle{BAC}$$\angle{AEB}=\angle{ACB}$.

Sabemos que $\triangle{ABE}$ $\triangle{BAC}$ son congruentes, y que $\triangle{BAC}$ $\triangle{ADC}$ son similares.

Así, si partimos $BA=a,AE=b,EB=c$, luego $$BC=b,\quad AC=c$$ y $$AD:BA=AC:BC\implies AD:a=c:b\implies AD=\frac{ac}{b}$$

Por lo tanto, tenemos $$\angle{EBC}=\angle{DAB}\quad \text{and}\quad BE:BC=AD:AB$$ a partir de la cual tenemos que $\triangle{EBC}$ $\triangle{DAB}$ son similares.

Por lo tanto, $\angle{MBD}=\angle{ABD}=\angle{BCE}=\angle{MCB}$.

Answer 2

Sólo por diversión, una solución diferente. Deje $N$ ser el punto medio de la $AD$ y deje $L$ ser el punto de intersección entre el$CN$$BD$. Entonces los triángulos $CND$ $CMA$ son similares, por lo $\angle CND = \angle CMA$. Por lo tanto,$\angle CNA + \angle CMA = \pi - \angle CND + \angle CMA = \pi$. Por lo tanto, los cuatro puntos de $C, M, A, N$ mentira en un círculo común. Por lo tanto,$\angle CNM = \angle CAM = \angle CAB$. Pero desde $M$ $N$ son puntos medios de $AB$ $AD$ respectivamente, en el segmento de $MN$ es paralelo a $BD$ (y la mitad de la longitud). Por lo tanto,$\angle CLB = \angle CNM = \angle CAB$, lo que significa que los cuatro puntos de $C, L, A, B$ mentira en un círculo común y, por tanto,$\angle NCA = \angle LCA = \angle LBA = \angle ABD$. Pero dado que los triángulos $NCA$ $MCB$ son similares, llegamos a la conclusión de que $\angle MBD = \angle ABD = \angle NCA = \angle MCB$.