Demuestre que existe$a\in \Bbb{R}$ tal que$f'(a)=0$.

Question

Deje $f$ ser diferenciable en a $\Bbb{R}$ y deje $\lim_\limits{x\to \infty}f(x)=\lim_\limits{x\to -\infty}f(x)=0$. Probar que existe $a\in \Bbb{R}$ tal que $f'(a)=0$.

Intento: Si $f$ es constante, hemos terminado. De lo contrario, $f$ no es constante. Supongamos que no hay tal $a$. Entonces, en particular, $f$ no tiene ningún extremo $\implies$ $f$ no tiene punto donde se pasa de creciente a decreciente o de decreciente a creciente. $f$ es continua, ya que es diferenciable. Por lo tanto, desde $\lim_\limits{x\to \infty}f(x)=\lim_\limits{x\to -\infty}f(x)=0$, $f$ debe ser constante. Una contradicción. Por lo tanto, $f$ es constante y $f'(x)=0$ en todas partes, o $f$ tiene un extremo en$x=a$$f'(a)=0$.

Me siento como mi intento no es formal suficiente, cualquier corrección? Agradecería su ayuda.

Answer 1

Suponga $f$ no es constante. Entonces adoptamos la notación $f(a)=b$. Sin pérdida de generalidad, supongamos $b>0$--recuerden ${d\over dx}(-f(x))=-{d\over dx}(f(x))$, por lo que la función, $f$ tiene un cero de la derivada si y sólo si $-f$ tiene un cero de la derivada en el mismo punto. A continuación, seleccione $0<\epsilon<b$. Sabemos por la continuidad de $f$ que $\exists x_1>a$ tal que $f(x_1)=\epsilon$ por el teorema del valor intermedio, ya que, por definición,

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=0\iff \text{for every }\epsilon >0 \text{ there is an }N\text{ such that if }x>N,\; f(x)<\epsilon.$$

y desde $f$ toma un valor menor que $\epsilon$ y mayor que ella (es decir,$b$) se debe tomar el valor $\epsilon$ en algún lugar.

Del mismo modo hay$x_2<a$, de modo que $f(x_2)=\epsilon$.

A continuación, por el valor medio teorema, hay un $x_2 < c < x_1$ tal que

$$f'(c)={f(x_1)-f(x_2)\over x_1-x_2}={\epsilon -\epsilon\over x_1-x_2}=0.$$

Answer 2

Si $f^{'}$ no tiene una raíz así que tenemos $f^{'}>0$ o $f^{'}0$ o $f(t)