Grado de mapas y coberturas

Question

A raíz de una pregunta reciente que me hicieron sobre la titulación $1$ mapas de esferas, se me ocurrió una suposición, que o bien podría demostrarse muy fácilmente que es falsa, o bien, en caso contrario, aún no tiene respuesta. Es la siguiente:

Sea $M$ sea una zona cerrada y orientable $n$ -y $f: S^n \to M$ un mapa de grado $m$ . Entonces $S^n$ es un $k$ -sheeted covering space of $M$ donde $k$ es un divisor de $m$ .

Algunas observaciones:

• Dado que el grado $1$ mapas de la esfera son precisamente equivalencias de homotopía (véase aquí ), el conjetura de Poincaré generalizada en el TOP -como un caso especial para $m=1$ .

• Esta suposición puede demostrarse fácilmente falsa si $S^n$ se sustituye por un $n$ -manifold. Para $n=2$ existe un mapa simple de grado $1$ de $S_g$ la superficie de género $g \geq 1$ a $S^2$ como resultado de colapsar el 1-esqueleto (en su estructura elemental CW) hasta un punto.

• También es falso suponer que $f$ tiene el tipo homotópico de un $m$ -cubierta de lona. Creo que ya lo he leído para $m=1$ hay algunos contraejemplos muy poco triviales en dimensión 6 o superior.

¿Puede alguien aclararme esto?

Edita: En mi pregunta original, supuse que el grado de la cubierta tendría que ser igual al grado del mapa Inicial. Esto se demuestra fácilmente falso considerando los mapas de $S^n$ a sí mismo que son suspensiones del mapa $z \to z^m$ en $S^1$ . Esto tiene grado $m$ .

Edita 2: Como sugiere Eric Wofsey, una hipótesis equivalente sería la siguiente:

Sea $M$ sea una zona cerrada y simplemente conectada $n$ -con $M \neq S^n$ y que $f: S^n \to M$ sea un mapa. Entonces $deg(f)=0$ .

Ahora resulta obvio que hay que ir a la dimensión al menos $4$ para encontrar contraejemplos.

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, tal cosa tiene que ser una esfera de homología racional, y en particular un $\Bbb Z[1/d]$ -donde $d$ es el grado. También necesita tener grupo fundamental de orden coprimo a $d$ . Como en los comentarios, también podemos suponer que el colector está simplemente conectado pasando a la cubierta universal.

En primer lugar, no existen esferas de homología racional simplemente conectadas en dimensiones 3 ó 4 distintas de $S^4$ hasta homeomorfismo - la dualidad de Poincare obliga a que la homología integral sea $H^*(S^n)$ y puedes elegir un mapa de grado 1 $M \to S^n$ que es, por tanto, una equivalencia homotópica; invoquemos ahora la conjetura de Poincare.

El primer lugar donde esto es posible es la dimensión 5, y hay ejemplos en todas las dimensiones al menos 5, como los producidos por Danny Ruberman en este documento . De hecho, señala que mientras $M$ es una zona simplemente conexa $\Bbb Z[1/d]$ -esfera de homología existe un mapa $S^n \to M$ de grado $d^r$ para algunos $r$ . Un ejemplo muy explícito de este tipo de colector es $SU(3)/SO(3)$ una 5-manifold simplemente conectada cuya homología es $H_2 = \Bbb Z/2$ , $H_0 = H_5 = \Bbb Z$ y todos los demás cero (que obtuve de aquí ).

He aquí un enunciado preciso del "mod Hurewicz $\mathcal C$ " que invoca:

Sea $\mathcal C$ sea el conjunto de los grupos abelianos finitos, o abelianos $d$ -(es decir, grupos cuyos órdenes tienen los mismos divisores primos que $d$ ). (Existen otras opciones de $\mathcal C$ que funcionan, pero no recuerdo los requisitos precisos). Entonces, si $\pi_k(X) \in \mathcal C$ para todos $1 \leq k \leq n-1$ entonces $H_k(X) \in \mathcal C$ también para $i \leq k \leq n-1$ y el mapa de Hurewicz $h: \pi_n(X) \to H_n(X)$ es un isomorfismo mod $\mathcal C$ lo que significa que el kernel y el cokernel de $h$ están ambos en $\mathcal C$ .

En nuestro caso concreto, suponiendo que $M$ era un $\Bbb Z[1/d]$ esfera de homología significa que podemos inducir hacia arriba para ver que $\pi_k(X)$ también debe estar en $\mathcal C$ y, por último, concluir que el mapa $\pi_n(X) \to H_n(X) = \Bbb Z$ tiene un núcleo abeliano finito y, en particular, el mapa tiene una imagen no trivial. Obtenemos la afirmación precisa sobre un mapa de grado $d^r$ recogiendo $\mathcal C$ sea el conjunto de $d$ -grupos.