Para demostrar la desigualdad integral$\int_\overline{\theta}^{\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\lambda \cos{\theta}}}\gt\pi$

Question

La siguiente desigualdad surge en relación con el movimiento en un campo dipolo. Uno tiene que mostrar que$$\int_\overline{\theta}^{\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\lambda \cos{\theta}}}\gt\pi$$ where $$\overline{\theta}= \begin{cases}0, & 0\lt\lambda \lt1\\ \arccos(\frac{1}{\lambda}), & \lambda \gt 1\end{cases}.$ $ El caso$0\lt\lambda\lt 1$ se verifica fácilmente. Para entonces$$\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\lambda \cos{\theta}}}=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\lambda \cos{\theta}}}+\int_{\pi/2}^{\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\lambda \cos{\theta}}}$ $$$\implies\int_{0}^{\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\lambda \cos{\theta}}}=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\lambda \cos{\theta}}}+\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-\lambda \sin{\theta}}}\gt2\int_{0}^{\pi/2}d\theta=\pi.$ $ Sin embargo, me resulta difícil probar el segundo caso. Cualquier indicador será de ayuda.

Gracias.

NOTA: La desigualdad no se cumple para todos los valores de$\lambda > 1$, como se ha observado en las siguientes respuestas.

Answer 1

Si divido por$\lambda$, la desigualdad se convierte en:$$\int_{\underline{\theta}}^{\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos(\underline{\theta})-\cos(\theta)}}\geq \pi \sqrt{\lambda}$ $

Ahora$$\int_{\pi/2}^{\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos(\underline{\theta})-\cos(\theta)}}\leq \int_{\pi/2}^{\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{-\cos(\theta)}}d\theta=\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\sin(\theta)}}<+\infty$ $ y como si$\theta \in [ \underline{\theta}, \pi/2]$, tenemos$\cos(\theta)-\cos(\underline{\theta})=(\theta-\underline{\theta})(-\sin(c))$ para algunos$c\in [ \underline{\theta}, \pi/2]$, obtenemos$|\cos(\theta)-\cos(\underline{\theta})|\geq(\theta-\underline{\theta})\sin(\underline{\theta}) $ Por lo tanto$$\int_{\underline{\theta}}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos(\underline{\theta})-\cos(\theta)}}\leq\frac{1}{\sqrt{\sin(\underline{\theta})}} \int_{\underline{\theta}}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\theta-\underline{\theta}}}= 2\frac{\sqrt{\pi/2-\underline{\theta}}}{\sqrt{\sin(\underline{\theta})}} $ $

Ahora como$\displaystyle \sin(\underline{\theta})=\sqrt{1-\frac{1}{\lambda^2}}$, tenemos$\displaystyle 2\frac{\sqrt{\pi/2-\underline{\theta}}}{\sqrt{\sin(\underline{\theta})}}$ delimitado como$\lambda\to +\infty$, por lo que si no estoy equivocado, hay un problema.

Answer 2

Su desigualdad está mal en general (indicado a continuación), y la prueba de $\lambda<1$ tiene un pequeño error. Vamos a empezar con el último.

El problema con la prueba de

Dividir la integral en los intervalos de $(0,\pi/2)$ $(\pi/2,\pi)$ y que está muy bien. Pero desde $\cos \theta<0$ en el intervalo de $(\pi/2,\pi)$ es imposible que usted obtiene como un integrando $1/\sqrt{1-\lambda\sin \theta}$ después de su cambio de variables. Lo que se obtiene si solo cambian $\theta\mapsto \theta-\pi/2$$1/\sqrt{1+\lambda\sin\theta}$. Pero esto es menos de $1$ en el intervalo. En su lugar, deje $\theta\mapsto \pi-\theta$. Entonces, usted va a terminar con $$ \int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\lambda\cos\theta}}+\frac{1}{\sqrt{1+\lambda\cos\theta}}\,d\theta. $$ Entonces, de acuerdo a la desigualdad $a+b\geq 2\sqrt{ab}$, usted encuentra que el integrando es acotado abajo por $$ \frac{2}{\sqrt[4]{1-\lambda^2\cos^2\theta}} $$ que es mayor que $2$ en el intervalo. La integración de obtener un límite inferior de $\pi$.

La prueba de que la desigualdad no es cierto para todos los $\lambda>1$

Aquí, como sugerido por @Ian, es suficiente para considerar $\lambda=2$, y, por tanto, mostrar que la integral $$ \int_{\pi/3}^\pi\frac{1}{\sqrt{1-2\cos\theta}}\,d\theta<\pi. $$ En el intervalo de $(\pi/3,\pi)$ sostiene que $$ 1-2\cos\theta>\frac{9}{2\pi}(\theta\pi/3). $$ Así $$ \int_{\pi/3}^\pi\frac{1}{\sqrt{1-2\cos\theta}}\,d\theta< \int_{\pi/3}^\pi\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{2\pi}(\theta\pi/3)}}\,d\theta=\frac{4\pi}{3\sqrt{3}}<\pi. $$