¿Es fácil de probar con la lengua moderna a la mano este teorema de Dold?

Question

Hay un teorema de Dold (en las Particiones de la unidad en la teoría de la fibrations) diciendo que si $X$ es un CW-complejo y $Y\to X$, $Y'\to X$ son dos fibrations conectados por un mapa de $f:Y\to Y'$ $X$ $f$ es un homotopy equivalencia iff $f$ es una fibra homotopy de equivalencia (lo que significa que el homotopy inversa es también un mapa sobre $X$).

Me pregunto si, para la conexión de un $X$ y CW-complejos de $Y$$Y'$, es una sencilla consecuencia de la modern language (por supuesto, las dificultades son sólo ocultas) de la siguiente manera:

La estructura del modelo en los espacios topológicos $TOP$ induce un modelo de la categoría en el segmento de la categoría $TOP/X$. A continuación, $Y$ $Y'$ son cofibrant (ya que son de CW-complejos) y fibrant(!) los objetos y $f$ es una de morfismos en $TOP/X$ que es un débil equivalencia. Por lo tanto, el teorema de Whitehead implica que $f$ es un homotopy equivalencia en $TOP/X$ y, por tanto, la inversa también es $X$.

Answer 1

Creo que su argumento es correcto. Supongo que usted está trabajando con Quillen la estructura del modelo, ya que mencionas $Y, Y \prime$ cofibrant ya que son CW-complejos. Sin embargo, debido a este hecho, el resultado no es realmente tan fuerte como la que nos gustaría ser, desde muy importantes clases de fibrations no tienen dominio de un CW-complejo (es decir, la ruta de acceso fibration).

Usted podría, por supuesto, trabajar con Strøm estructura del modelo para obtener el teorema general pero probando el modelo de la categoría de axiomas en este caso es conocido por ser bastante delicado. Para citar nLab:

El teorema que podría haber sido un folclore en el tiempo, pero el papel tiene una serie de sutilezas.

Strøm las pruebas no son bien conocidos hoy en día y el uso de técnicas más conocido para el topologists de ese momento, y no hay por lo tanto una ligera controversia entre topologists ahora. Uno de estos es que no son modernas reproches, pero estas técnicas modernas esencialmente de forma compacta generado espacios, mientras que Strøm las pruebas consiguió evitar que la asunción.

He estado pensando acerca de este fenómeno por un tiempo de demostrar la "invariancia de homotopy pullbacks" utilizando, básicamente, sólo los axiomas de fibration categorías, que probablemente requerirían una sustancial homotopical argumento de que si yo estaba tratando de probarlo directamente. En resumen, parece que las estructuras del modelo en los espacios - si tomamos por sentado - puede conducir a corto y argumentos conceptuales, como la suya.