$\int_{-1}^{1}x^{2}\delta(x^3)dx$

Question

Cómo resolver

$$\int_{-1}^{1}x^{2}\delta(x^3)dx$$

donde $\delta(x)$ es la delta de dirac.

Probé una sustitución $$y=x^3$$$$\frac{1}{3x^2}dy=dx$$

$$\int_{-1}^{1} \frac{1}{3}\delta(y)dy=\frac{1}{3}$$

Pero que el resultado es incorrecto. ¿Estoy equivocado?

Muchas gracias.

Answer 1

Aquí es una manera de llegar al resultado. Utilizamos la simple regularización de la Delta de Dirac dada por

$$\delta_\epsilon(x)=\begin{cases}\frac1{2\epsilon}&,x\in[-\epsilon,\epsilon]\\0&,\text{elsewhere} \end{cases}$$

donde $\lim{\epsilon\to0}\delta\epsilon(x) \sim \delta(x)$ en el sentido de distribuciones. Es decir, para cada función lisa con la ayuda compacta (es decir, función de prueba), tenemos

$$\lim{\epsilon\to0}\int{-\infty}^\infty f(x)\delta_\epsilon(x)\,dx=f(0)$$

Entonces, tenemos

$$\begin{align} \int{-1}^1 x^2\delta(x^3)\,dx&=\lim{\epsilon\to0}\int{-1}^1 x^2 \delta\epsilon(x^3)\,dx\\ &=\lim{\epsilon\to0}\int{-\sqrt[3]{\epsilon}}^\sqrt[3]{{\epsilon}}x^2\left(\frac1{2\epsilon}\right)\,dx\\ &=\frac13 \end {Alinee el} $$

como era de esperar!

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Para la observación, la regularización que utilizamos aquí en no único.

Answer 2

La solución está muy bien. De hecho deben realizar la sustitución $y=x^3$. Con eso obtienes $$\int{-1}^1!dx\,x^2\delta(x^3) = \frac{1}{3}\int{-1}^1\,dy\,\delta(y). \tag{1}$ $ ahora es la propiedad definitoria de la distribución delta % $ $$\int!dy\,f(y) \delta(y) =f(0).$

Usar $f(y)$ la función de indicador en $[-1,1]$, obtienes el resultado %#% $ #%