Demostrar que $\mathbb{R}^n\setminus \{0\} $ está conectado para $n > 1$

Question

Demostrar que $\mathbb{R}^n\setminus \{0\} $ está conectado para $n > 1$ .

No entiendo por dónde empezar a probar esto ya que

$$\mathbb{R}^n \setminus \{0\} = (-\infty,0)^n \cup (0, \infty)^n $$

Que es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos, por lo que no puede ser conexo. Obviamente no me dirán que demuestre que es cierto algo que no lo es, así que sé que me estoy perdiendo algo.

Hemos demostrado que $\mathbb{R}^n$ se conecta utilizando este teorema:

Sea S un espacio topológico, y sea $T_0$ y $\{T_w\}_{w\in W} $ sean subconjuntos conexos de S. Supongamos que $T_0 \cap T_w \neq \emptyset $ para cada w. Entonces $T_0 \cup \left( \cup_{w \in W} T_w \right)$ está conectado.

Utilizando el primer conjunto conexo {0} y los indexados como rectas que pasan por el punto {0} indexado por la esfera unidad.

Esperaba hacer algo parecido con este problema, pero no veo la forma de hacerlo. La ayuda sería apreciada. Y disculpas por cualquier error de Latex. Voy a tratar de solucionarlos, pero estoy de vacaciones y sólo tengo mi teléfono actualmente.

Answer 1

Su "fórmula" para $\mathbb{R}^n\backslash \{0\}$ está mal. Dibujar $\mathbb{R}^2$ y entenderás por qué.

Si desea evitar el uso de la conexión de trayectorias, haga lo siguiente. Para $n>1$ Toma $A,B \subset \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$ dada por $A:=\{x \in \mathbb{R}^n \mid x_n > 0\}$ y $B:=\{x \in \mathbb{R}^n \mid x_n<0\}$ . $A$ y $B$ están claramente conectadas (de hecho, ambas son homeomorfas a $\mathbb{R}^n$ ). Dado que el cierre de los conjuntos conexos es conexo, $\overline{A}$ y $\overline{B}$ están conectados. Pero $\overline{A}$ y $\overline{B}$ tienen puntos en común. Por tanto, su unión es conexa. Pero su unión es toda la $\mathbb{R}^n\backslash \{0\}$ .

Ejercicio divertido: ¿En qué falla esto para $\mathbb{R}$ ?

"Pero $\overline{A}$ y $\overline{B}$ tienen puntos en común" - No los tienen, por $n=1$ .

Answer 2

Sugerencia: Suele ser más fácil mostrar la ruta conectada que conectada. Trayectoria conectada implica conectado, es más fuerte. Así que toma dos puntos arbitrarios y demuestra que puedes conectarlos con un camino. Hay dos casos: Los puntos no están en la misma línea que el origen en lados opuestos (El caso fácil), y lo son: (El caso casi tan fácil)

¿Puedes arreglártelas?

Answer 3

$n$ -dan lugar a una proyección continua desde el producto cartesiano de intervalos conectados a $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ .

Answer 4

Existe un camino desde cualquier punto hasta el disco unitario, $r(t)= ((1-t)+{t \over \|x\|}) x$

Ahora sólo queda demostrar que el disco unitario está conectado. Elige $u_1,u_2$ en el disco de la unidad. Sea $v_1=u_1$ y $v_2$ en el disco de la unidad en el lapso de $u_1,u_2$ tal que $v_1 \bot v_2$ .

Consideremos ahora la trayectoria $\rho(\theta) = (\cos \theta) v_1 + (\sin \theta) v_2$ , y demuestre que $\rho(\theta)$ está en el disco unitario para todos $\theta$ y que hay algún $\theta'$ tal que $\rho(\theta') = u_2$ .

He aquí una construcción explícita: Sea $v_2 = { u_2 -\langle u_1, u_2 \rangle u_1 \over \| u_2 -\langle u_1, u_2 \rangle u_1 \| }$ . Tenga en cuenta que $v_2$ está en el disco unitario y tenemos $u_2 = \| u_2 -\langle u_1, u_2 \rangle u_1 \| v_2 + \langle u_1, u_2 \rangle u_1$ . Ahora compruebe que $\| u_2 -\langle u_1, u_2 \rangle u_1 \|^2 + (\langle u_1, u_2 \rangle u_1)^2 = 1$ por lo que existe un $\theta'$ tal que $\sin \theta' = \langle u_1, u_2 \rangle u_1$ y $\cos \theta' = \| u_2 -\langle u_1, u_2 \rangle u_1 \|$ de donde tenemos $\rho(\theta') = u_2$ . Por lo tanto, el mapa $\rho:[0,\theta'] \to S^{n-1}$ es un camino que conecta $u_1,u_2$ en $S^{n-1}$ .