El punto de compactification $\Bbb Q^*$ $\Bbb Q$ es compacto, por lo que cada punto tiene un pacto nbhd y un precompact abrir nbhd, pero no hay punto de $\Bbb Q$ tiene una base local de conjuntos compactos en $\Bbb Q^*$: $\Bbb Q$ está abierto en $\Bbb Q^*$, pero todas las compactas nbhd de un punto de $\Bbb Q$ contiene el punto en el infinito. Por lo tanto, $\Bbb Q^*$ cumple su segunda y la tercera condición, pero no en el primero.
Vamos $\tau=\{\varnothing,\Bbb R\}\cup\{(x,\to):x\in\Bbb R\}$; $\tau$ es una topología en $\Bbb R$, y los subconjuntos compactos de $\Bbb R$ en esta topología son precisamente los conjuntos que están delimitadas por debajo. Cada punto tiene realmente una base de compactas abierta nbhds, pero en ningún momento se tiene un acuerdo cerrado nbhd: el único conjunto cerrado con los no-vacío interior es $\Bbb R$ sí, y no es compacto. Por lo tanto, $\langle\Bbb R,\tau\rangle$ cumple su primera y segunda condiciones, pero no la tercera.
Estos ejemplos muestran que la primera y tercera condiciones son independientes el uno del otro. Cada uno de ellos implica la segunda condición, por lo que sólo queda encontrar un espacio que satisface la segunda condición, pero no la primera o la tercera. Vamos $\tau'=\{\varnothing\}\cup\{U\subseteq\Bbb N:0\in U\}$; $\tau'$ es una topología en $\Bbb N$. Para cada una de las $n\in\Bbb N$ el conjunto $\{n,0\}$ es un compacto nbhd de $n$. Sin embargo, $0$ no tiene precompact abrir nbhd: $\operatorname{cl}_{\tau'}\{0\}=\Bbb N$, que no es compacto.
No te puedo dar una respuesta concreta a tu última pregunta: yo nunca he tenido mucha ocasión de trabajar con la compacidad en los no-espacios de Hausdorff. En general, sin embargo, es bueno saber exactamente lo que la propiedad que usted está utilizando en el momento de probar algo - por ejemplo, si estás usando una base local de conjuntos compactos, o simplemente un solo compacto nbhd.
