Podemos probar más en general, de la desigualdad para ciertos valores de la relación entre b y a:
$$\sqrt{\frac{(a+b)x}{ax+by}}+\sqrt{\frac{(a+b)y}{ay+bz}}+\sqrt{\frac{(a+b)z}{az+bx}} \leq 3$$
si 0.8152 < b/ < 1.2267
Re-trabajar el lado izquierdo y la aplicación de Cauchy-Schwarz, se obtiene:
$$(\sqrt{az + bx}\sqrt{\frac{(a + b) x}{(a z + b x) (a x + b y)}}
+ \sqrt{ax + by}\sqrt{\frac{(a + b) y}{(a x + b y) (y + b z)}}
+ \sqrt{ay + bz}\sqrt{\frac{(a + b) z}{(ay + bz) (z + b, x)}})^2
\leq
(a y + b z + z + b x + a x + b y)(\frac{(a + b) x}{(a z + b x) (a x + b y)}+\frac{(a + b) y}{(a x + b y) (y + b z)}+\frac{(a + b) z}{(ay + bz) (z + b, x)})
=\frac{(a + b)^3 (x + y + z) (y z + x y z + xz)}{(a x + b y) (b x +
z) (y + b z)}
$$
Ahora estamos buscando un límite superior de esta última expresión. Denotar este límite superior por k y considerar la expresión:
$$G=(a + b)^3 (x + y + z) (y z + x y + zx) - k (a x + b y) (b x + a z) (a y + b z)$$
Este debe ser siempre negativo si k es una cota superior.
Simplificando resulta que tenemos un valor de k tal que:
$$G=((a+b)^3-a^2 b k)(y^2 z+x z^2+x^2 y)+((a+b)^3-a b^2 k)(xy^2+yz^2+zx^2)+(3 (a+b)^3-a^3 k-b^3 k)xyz<=0$$
La aplicación de AM/GM obtenemos:
$$(a^2 b k-(a+b)^3)(y^2 z+x z^2+x^2 y)+(a b^2 k-(a+b)^3)(xy^2+yz^2+zx^2)>=3((a^2 b k-(a+b)^3)+(a b^2 k-(a+b)^3))xyz$$
En orden para que esto se sostenga tenemos que asumir que (A1) $$a^2 b k-(a+b)^3>=0$$ and (A2) $$a b^2 k-(a+b)^3>=0$$
Así que ahora podemos elegir k de modo que los coeficientes antes de xyz en los últimos dos expresiones son iguales. En otras palabras, tenemos k tal que:
$$3(a + b)^3 - a^k 3 - b^3 k =
3 ((a^2 b k - (a + b)^3) + (b^2 k - (a + b)^3))$$
Es fácil ver que k=9 se completa la prueba, si nuestras suposiciones (A1) y (A2), mantenga pulsado.
Ellos sostienen que para una pequeña gama de b/un ratios aproximadamente 0.8152 < b/ < 1.2267.
Con el fin de A1 y A2 para mantener for k=9 podemos reescribir en la forma $$\frac{(a + b)^3}{a^2 b}<=9 \quad and \quad \frac{(a + b)^3}{a b^2}<=9$$
Dejando a x=b/a, esto significa que necesitamos los valores positivos de x para los cuales tanto:$$
1/x + 3 x + x^2 - 6<=0 \quad \quad 1/x^2 + 3/x + x - 6<=0$$
La resolución de la resultante cúbicas obtenemos:$$
2 - \sqrt{3} Cos(\pi/18) + 3 Sen(\pi/18)\le\frac{b}{a}\le-1 + 3 Cos(\pi/9) - \sqrt{3} Sin(\pi/9)
$$
o numéricamente 0.8152 < b/ < 1.2267. Este es el rango de posibles valus para b/a para la cual la desigualdad es siempre.
También se puede observar que el producto de que finalice el intervalo es igual a 1.
