Una (posiblemente) versión más fácil del postulado de Bertrand

Question

Mientras asistía a un rompecabezas de la matemáticas del concurso, mi amigo (un estudiante de matemáticas) me pidió que demostrar que $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \notin \mathbb{Z} \quad \forall n \geq 2$$

Siendo la primera vez que viendo este problema, se me ocurrió una prueba de que se requiere la siguiente conjetura:

(1) Dado un número compuesto $n \geq 4$, $\exists p$ el primer tales que $$p < n < 2p$$

Mi amigo me dijo que esta seguido directamente de Bertrand Postulado (y de hecho se hace).

Ahora postulado de Bertrand, que dice que existe un primer entre el$n$$2n$, tiene una bonita involucrados prueba. Mi pregunta es:

Pregunta: Hay una sencilla prueba de Bertrand Postulado si tomamos $n$ a ser el primer (que es todo lo que necesito)? Si es así alguien podría proporcionar una referencia o prueba/boceto de la misma? Hasta ahora he venido con las manos vacías...

Gracias por su tiempo.

PS: Aquí es cómo puedo enlazar (1) con Bertrand Postulado: Definir compuestas $n \geq 4$ $$p(n) = \max \{p : p \leq n, \quad p \mbox{ prime} \}$$ Supongamos que (1) es falsa, entonces para algunos $n$, tenemos $$2p(n) \leq n$$ Esto también significa que $\{p(n)+1, \cdots 2p(n)\}$ son todos los compuestos. Sin embargo, por el Postulado de Bertrand, entre el$p(n)$$2p(n)$, hay un primer $q$. $\Rightarrow\Leftarrow$

Answer 1

Oh, Querido...

Me acabo de dar cuenta que demostrar el resultado para $n$ prime implica demostrar que para todos los $n \geq 4$. Aquí está mi razonamiento:

Deje $p(n)$ a ser como antes es decir el número primo más cercano a $n$ y menos de $n$. Entonces, SI no fue una simple prueba de Bertrand postulado de los números primos, entonces existe un número primo $q$$p(n)$$2p(n)$. Hay $2$ de los casos: $$p(n)<q<n<2p(n)<2n$$ y $$p(n)<n<q<2p(n)<2n$$

Caso 1 contradiría maximality de p(n), lo que nos deja con el caso 2, que es exactamente Bertrand postulado.

Lo que si existe es un simple(r) prueba de Bertrand postulado de los números primos, el argumento anterior se extiende a $n \geq 4$. De ahí que es "improbable" que haya una prueba simple para el caso de los números primos desde Erdos' prueba se considera el más simple como la de ahora.