¿Es casi seguro que una caminata aleatoria bidimensional con orientaciones aleatorias regrese casi infinitamente al origen?

Question

Es bien sabido que si se realiza una caminata aleatoria en 2 dimensiones de celosía, a continuación, es casi seguro que llegará a cada celosía punto infinitamente muchas veces. Es el mismo resultado true si, en lugar de caminar sobre una rejilla, andamos en una orientación aleatoria (siempre utilizando una distancia de 1)?

Por supuesto, no podemos esperar a tierra en cualquier punto con probabilidad positiva, por lo que podemos modificar la pregunta: en cualquier disco, es la probabilidad de 1 que el paseo aleatorio eventualmente entrar? Creo que esto es equivalente a la pregunta de si la caminata aleatoria eventualmente cualquier disco específico infinitamente muchas veces (por ejemplo, uno alrededor del origen), porque entonces hay una probabilidad positiva de tomar cualquier conjunto de rutas con una probabilidad positiva para llegar al otro disco, que es, en teoría, no es difícil de construir.

Lo que he intentado:

Un enfoque es utilizar el resultado en la red, mediante la conversión de un paseo aleatorio en el avión a una caminata al azar en la red) para demostrar este resultado, pero no he hecho ningún progreso significativo en esta dirección.

Otro enfoque es el de imitar una prueba de que funciona a través de la red. La única prueba de que la estrategia que yo soy un poco familiarizado con demostrar el resultado sobre la red (aunque soy consciente de que hay otros) es mostrar que la suma de las probabilidades de que usted está en el origen después de $n$ pasos para cada una de las $n$ diverge, y luego mostrar que esto implica que la probabilidad de que vas a volver infinitamente muchas veces es 1. Pero parece que ni el paso generaliza directamente. Algo que podría hacer es intentar demostrar que. para cualquier punto de $P$ y cualquier círculo de radio $r$ contiene $P$, la suma de las probabilidades de que el pie (re-)entra en ese círculo en el paso de $n$ es infinito; creo que esto podría solucionar el segundo paso para trabajar en este caso utilizando el argumento de la página 163 de https://services.math.duke.edu/~rtd/PTE/PTE4_1.pdf (la prueba del teorema 4.2.2) dejando $r$ ser la mitad del radio del disco original y siempre la elección de un círculo que contiene el origen.

Answer 1

Creo que con la suficiente aproximación exacta de su caminata aleatoria está dada por una caminata al azar en una red hexagonal. Supongamos que el punto de partida es el punto rojo y el punto de llegada es el verde. Deje que nos rodean el green point con hexágonos tener unidad de diámetro.

Cuando se realiza un paso siempre dejamos el hexágono en la que estamos. Podemos dar un color a cada hexágono en un determinado anillo alrededor del punto de llegada, como en la imagen. Si estamos en la zona roja, tenemos una probabilidad positiva de estar allí, una probabilidad positiva de salir a la calle y una probabilidad positiva de entrar en la zona amarilla. Estas probabilidades son bastante cerca de a $\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}$. Por lo tanto, si estamos a una distancia $d$ desde el punto de llegada, tenemos una probabilidad de $\geq \frac{1}{3^n}$ de entrar en la zona verde en $n$ pasos, donde $n=\lceil d\rceil$. Esto debería ser suficiente para asegurar que, finalmente, entrar en un $\frac{1}{2}$-barrio de cualquier punto.

En el más riguroso de los términos: se supone que para que se inicie en el origen del plano complejo. Para cualquier $R\geq 0$, la probabilidad de ser atrapado para siempre en la región de $|z|\leq R+\frac{1}{2}$ es claramente cero, así que casi seguramente dejará dicha región. Deje $P_1,\ldots,P_m$ ser los vértices de un regular $m$-agon con unidad de longitud lateral inscrito en $\|z\|=R+\frac{1}{2}$. Cuando salimos de la región de $|z|\leq R+\frac{1}{2}$, necesariamente, de la cruz una de las $\approx \pi(2R+1)$ barrios de radio $\frac{1}{2}$$P_1,\ldots,P_m$. Debido a la simetría radial, entre los caminos dejando $|z|\leq R+\frac{1}{2}$ $k$ pasos, acerca de $\frac{1}{\pi(2R+1)}$ de ellos visita a $\frac{1}{2}$-barrio de $P_j$, para cualquier $j\in[1,m]$. De ello se sigue que nuestro paseo aleatorio casi seguramente visitas a $\frac{1}{2}$-barrio de cualquier punto.