Dummit y Foote p.544, proposición 31 con respecto a la construcción de una clausura algebraica.

Question

Tengo una pregunta en la prueba de la siguiente propuesta en Dummit y Foote (3ª edición, la Proposición 31, p.544).

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Esta sección es lo que estoy totalmente de cita del libro.

La proposición. Deje $K$ ser un algebraicamente cerrado de campo y deje $F$ ser un subcampo de la $K$. A continuación, la colección de elementos $\overline{F}$ $K$ que son algebraicos sobre $F$ algebraica de cierre de $F$. Algebraica de cierre es única hasta el isomorfismo.

Prueba. Por definición, $\overline{F}$ es una extensión algebraica de $F$. Cada polinomio $f(x) \in F[x]$ se divide completamente en $K$ en los lineales de los factores de $x - \alpha$ (lo mismo es cierto para cada polinomio incluso en $K[x]$). Pero cada una de las $\alpha$ es una raíz de $f(x)$, por lo que es algebraico sobre $F$, por lo tanto es un elemento de $\overline{F}$. De ello se sigue que todos los lineales de los factores de $x - \alpha$ coeficientes en $\overline{F}$, es decir, $f(x)$ se divide completamente en $\overline{F}[x]$ $\overline{F}$ algebraica de cierre de $F$.

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Parece que los autores demostraron que cada polinomio en $F[x]$ se divide $\overline{F}$, pero en el fin de mostrar que $\overline{F}$ es algebraicas cierre de $F$, no debemos mostrar que $\overline{F}$ es algebraicamente cerrado? (Es decir, no tomamos $f(x)$ $\overline{F}[x]$ en lugar de $F[x]$?) No sé lo que me estoy perdiendo, pero yo pensaba que la prueba debe haber sido procedió de la siguiente manera:

Arreglar cualquier $f(x) \in \overline{F}[x]$, que se divide $L$. Deje $\alpha \in L$ ser cualquier raíz de $f$. A continuación, $\alpha$ es algebraico sobre $\overline{F}$ y desde $\overline{F}$ es algebraicas extensión de $F$, se deduce que el $\alpha$ es algebraico sobre$F$, de modo que $\alpha \in \overline{F}$.

Answer 1

Una clausura algebraica de un campo de $F$ es una extensión $K$ $F$ que es (un) algebraicas sobre $K$ y (b) algebraicamente cerrado, lo que significa que todos los no-constante polinomio sobre $K$ tiene una raíz en $K$. Esa es la definición. Uno a veces también se habla de la clausura algebraica de $F$ en algunos fijos de extensión de $F$, pero sin referencia alguna mayor extensión algebraica de cierre de $F$ es algebraicamente cerrado extensión de $F$ que es algebraico sobre $F$.

Ahora, respecto a tu pregunta, sí, para demostrar que una extensión de $K$ $F$ algebraica de cierre, se debe comprobar que el $K$ es algebraico sobre $F$ y que todos los no-constante polinomio en $K[X]$ tiene una raíz en $F$. Sin embargo, resulta que si $K/F$ es algebraica y de todos los no-constante polinomio en $F[X]$ tiene una raíz en $K$, entonces, en el hecho de que cada no-constante polinomio en $K[X]$ tiene una raíz en $K$, y el argumento es esencialmente su última frase. Te voy a dar el argumento con más detalle.

Supongamos $f\in K[X]$ es una irreductible monic polinomio, y la forma de la extensión de $E=K[X]/(f(X))$ (este es un campo debido a la $f$ es irreducible sobre$K$), que contiene la raíz de $\alpha=X+(f(X))$$f$. Ahora, si escribimos $f(X)=\sum_{i=0}^n a_i X^i$, entonces cada una de las $a_i$ es algebraico sobre $F$, por supuesto, por lo que la extensión $F(a_1,\ldots,a_n)\subseteq K$ es finito $F$ (porque puede ser escrito como una torre de extensiones donde nos lindan con un único elemento algebraico en cada paso). Tenga en cuenta que $f$ ha coeficientes en $F(a_1,\ldots,a_n)$, por lo que la extensión obtenidos por contigua $\alpha$ $F(a_1,\ldots,a_n)$es finito $F(a_1,\ldots,a_n)$, y, por tanto, también más de $F$. Por lo $\alpha$ es algebraico sobre $F$. Esto significa que no es un polinomio $g\in F[X]$ tal que $g(\alpha)=0$. Desde $f\in K[X]$ es el polinomio mínimo de a$\alpha$$K$, e $g\in F[X]\subseteq K[X]$ $\alpha$ como una raíz, debemos tener $f\mid g$$K[X]$. Pero por supuesto, $g$ se divide $K$, lo $f$ se divide $K$ como bueno, y por irreductibilidad, debemos tener $\deg(f)=1$. Se deduce entonces (por única factorización) que todos los no-constante polinomio sobre $K[X]$ se divide $K$, como se desee.

Yo podría haber evitado liarte con los coeficientes de $f$ invocando simplemente el hecho de que para los campos $F\subseteq K\subseteq E$, $E/K$ y $K/F$ algebraicas implica $E/F$ algebraicas, pero los bits con los coeficientes que he dado es esencialmente la prueba de que, de todos modos, así que lo incluye (el punto es que junto a un único elemento algebraico siempre produce una extensión de grado finito, y cualquier finito grado de extensión algebraica esencialmente por la inspección).

Answer 2

Tal vez depende de qué definición de "cierre de alegbraic de $F$" que está utilizando. Que podría utilizar "más pequeño cuerpo algebraicamente cerrado que contiene $F$", en cuyo caso usted es correcto. O usted podría utilizar "campo más pequeño que contiene todas las raíces de polinomios en $F$", en cuyo caso la prueba de la Proposición está bien (y tu comentario sería parte de la prueba de un lema que clausuras algebraicas algebraico siempre están cerradas).