¿Cómo se puede verificar que una integral definida ha sido evaluada correctamente?

Question

En muchos problemas podemos verificar nuestra solución "resolviendo el problema al revés". Por ejemplo, podemos sustituir las soluciones de una ecuación en la ecuación para obtener identidades, o diferenciar la antiderivada de una función que integramos (indefinidamente) para obtener la función original.

Pero si hemos calculado una integral definida, generalmente solo obtenemos un número, que no podemos sustituir en ningún lado para comprobar que es el resultado correcto.

¿Existe alguna forma generalmente aplicable de verificar si el resultado que obtuvimos de la integración definida es correcto?

Answer 1

Algunas simples verificaciones de cordura que me vienen a la mente:

• Si la función que integraste fue positiva, ¿obtuviste una respuesta positiva?
• Más generalmente, ¿puedes escribir un límite (uno fácil es que $\int_a^b f(x) \, dx$ está entre $(b - a) \text{max}_{x \in [a, b]} |f(x)|$ y $(b - a) \text{min}_{x \in [a, b]} -|f(x)|$) y verificar que tu respuesta lo cumple?
• ¿Puedes hacer la integral de una manera completamente diferente y obtener la misma respuesta? (Este es un método de propósito general para verificar tu respuesta a un problema.)
• Como en el comentario de Landuros, ¿puedes resolver la integral indefinida y luego diferenciarla?

Otra estrategia general pero menos simple que se me ocurre es ver si el método que usaste para calcular la integral puede también calcular la integral con un parámetro adicional en el integrando; entonces puedes verificar si la respuesta tiene sentido como una función del parámetro, o al menos si tu método está manejando el parámetro de manera sensata.

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Aquí tienes un ejemplo simple. Tenemos el resultado

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \pi$$

que se puede obtener sabiendo que la antiderivada de $\frac{1}{1 + x^2}$ es $\arctan x$, pero finjamos por un momento que no lo sabemos, ya que también se puede obtener mediante integración de contorno. ¿Qué verificaciones de cordura podemos hacer?

Para empezar, el integrando es positivo y la respuesta también, así que eso es bueno. También podemos acotar por arriba el integrando $\frac{1}{1 + x^2}$ de forma burda por $1$ en $[-1, 1]$ y por $\frac{1}{x^2}$ en otros lugares, dando la cota superior

$$\int_{-\infty}^{-1} \frac{dx}{x^2} + 2 + \int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2} = 4$$

que es mayor que $\pi$, así que eso es bueno. De manera similar, podemos acotar por debajo el integrando por $\frac{1}{2}$ en $[-1, 1]$ y por $\frac{1}{2x^2}$ en otros lugares, dando exactamente la mitad de la cota inferior anterior, es decir, $2$, que es menor que $\pi$, así que también es bueno; esto es suficiente para confirmar que no estamos errados por un factor de $2$, lo cual es bastante común en integrales cuya respuesta involucra $\pi.

Más interesante aún, el argumento de la integral de contorno se generaliza para dar

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + tx^2} \, dx = \frac{\pi}{\sqrt{t}}$$

(que también podemos obtener sustituyendo $x \mapsto \sqrt{t} x`, pero nuevamente finjamos por un minuto no haber notado esto)$, y podemos preguntarnos si los dos lados se comportan de la misma manera como una función de $t$. Bueno, en el LHS, valores mayores de $t$ hacen que el integrando decaiga más rápido, por lo que la integral debería ser una función decreciente de $t`, lo cual es el caso en el RHS. Además, la integral debería acercarse a$0$a medida que$t \to \infty$y debería ir a$\infty$a medida que$t \to 0`, lo cual también es el caso en el RHS. Puedes intentar adaptar las cotas superiores e inferiores burdas anteriores a este caso también, y seguirán coincidiendo. Esto no es una verificación de que la respuesta numérica sea correcta, pero es una verificación de que la manera en que estás utilizando el método de integración de contorno está dando respuestas que se comportan sensatamente.

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Un ejemplo más complicado es la integral gaussiana

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}.$$

dado que aquí la integral indefinida no está disponible, así que debemos hacer algo más. Nuevamente tenemos un integrando positivo y una respuesta positiva, así que eso es bueno. Podemos acotar $e^{-x^2}$ por $1$ en $[-1, 1]$ y por $|x| e^{-x^2}$ en otros lugares (elegido porque $xe^{-x^2}$ tiene como antiderivada $-\frac{1}{2} e^{-x^2}$), dando la cota superior

$$2 + 2 \int_1^{\infty} xe^{-x^2} \, dx = 2 + e^{-1} \approx 2.37$$

que es mayor que $\sqrt{\pi} \approx 1.77`, así que eso es bueno. Esto es suficiente para verificar que no estamos errados por un factor de$2$, y también es apenas suficiente para verificar que no estamos errados por un factor de$\sqrt{2`, ya que tenemos $\sqrt{2 \pi} \approx 2.51`.

Ahora, una forma famosa de calcular la integral gaussiana es calcular su cuadrado, a saber

$$\int_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2 - y^2} \, dx \, dy = \pi$$

usando coordenadas polares. Podemos verificar esta metodología viendo si continúa dando respuestas sensatas en dimensiones superiores, es decir, debería dar

$$\int_{\mathbb{R}^n} e^{-x_1^2 - \dots - x_n^2} \,dx_1 \dots \, dx_n = \pi^{n/2}.$$

Calcularemos esta integral en coordenadas esféricas integrando sobre todas las esferas de radio $r$ para todo $r \ge 0`; esto hace que la integral sea

$$\int_0^{\infty} S_{n-1}(r) e^{-r^2} \, dr$$

donde $S_{n-1}(r)` es el "área de la superficie" de una$(n-1)$-esfera de radio$r`. Esta integral es más fácil de calcular cuado $n = 2`, donde$S_1(r) = 2 \pi r` y tenemos disponible una antiderivada elemental, que da $\pi` como es esperado. En general,$S_{n-1}(r) = r^{n-1} S_{n-1}(1)` y entonces la identidad que queremos verificar es

$$\boxed{ S_{n-1}(1) \int_0^{\infty} r^{n-1} e^{-r^2} \, dr = \pi^{n/2} }.$$

Dependiendo de cuál de las dos cantidades es más misteriosa para ti, puedes pensar en esto como una fórmula para el área superficial $S_{n-1}(1)` de una$(n-1)`-esfera de radio $1`, o como una fórmula para la integral$\int_0^{\infty} r^{n-1} e^{-r^2} \, dr`. Se conocen fórmulas para ambas cantidades y puedes verificar que multiplican a $\pi^{n/2}`, así que al menos todas las cosas ligeramente misteriosas se comportan consistentemente entre sí.

Para empezar, cuando $n = 3`, tenemos que$S_2(1) = 4 \pi`, por lo que la identidad a verificar es

$$4 \pi \int_0^{\infty} r^2 e^{-r^2} \, dr = \pi^{3/2}.$$

Puedes verificar esto usando un cambio de coordenadas como en los casos anteriores para calcular que

$$\int_0^{\infty} e^{-tr^2} \, dr = \frac{\sqrt{\pi}}{2} t^{-1/2}$$

y luego diferenciando ambos lados con respecto a $t` para obtener

$$\int_0^{\infty} r^2 e^{-tr^2} \, dr = \frac{\sqrt{\pi}}{4} t^{-3/2}$$

luego sustituyendo $t = 1` para obtener$4 \pi \left( \frac{\sqrt{\pi}}{4} \right) = \pi^{3/2}`. Así que todo cuadra. Por supuesto, en este punto estás verificando integrales evaluando otras integrales y si te preocupa cometer errores al integrar, podrías preocuparte de que tu respuesta original sea correcta pero que tus verificaciones sean erróneas... así que manténlo simple si puedes. (Por ejemplo, accidentalmente escribí $t^{1/2}$ en lugar de $t^{-1/2}` en la penúltima ecuación, y me confundí porque me faltaba un signo negativo, luego hice la verificación de cordura para ver si$t^{1/2}$tenía el comportamiento cualitativo correcto como una función de$t`; por supuesto, no lo tenía y encontré mi error!)