Unas sencillas comprobaciones de estado en la parte superior de mi cabeza:
- Si la función integrada fue positiva, ¿de obtener una respuesta positiva?
- Más generalmente, se puede escribir un atado (fácil es que $\int_a^b f(x) \, dx$ entre $(b - a) \text{max}_{x \in [a, b]} |f(x)|$$(b - a) \text{min}_{x \in [a, b]} -|f(x)|$) y compruebe que su respuesta satisface?
- Se puede hacer la integral de una forma completamente diferente y obtener la misma respuesta? (Este es un propósito general forma de comprobar su respuesta a un problema).
- Como en Landuros' comentario, se puede resolver la integral indefinida, luego se diferencian?
Otro general, pero menos simple estrategia que viene a la mente es para ver si cualquiera que sea el método que usted usa para calcular la integral se puede calcular la integral con un parámetro adicional en el integrando, a continuación, usted puede comprobar si la respuesta tiene sentido como una función del parámetro, o al menos si su método es el manejo de los parámetros sensatez.
He aquí un ejemplo simple. Tenemos el resultado
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \pi$$
el cual puede ser obtenido por saber que la antiderivada de $\frac{1}{1 + x^2}$$\arctan x$, pero vamos a suponer por un momento que no sabemos por que, ya que también puede ser obtenida por el contorno de la integración. Qué comprobaciones de validez podemos hacer?
Para empezar, el integrando es positivo y también lo es la respuesta, así que es bueno. También podemos límite superior el integrando $\frac{1}{1 + x^2}$ crudamente $1$ $[-1, 1]$ $\frac{1}{x^2}$ otra parte, dando el límite superior
$$\int_{-\infty}^{-1} \frac{dx}{x^2} + 2 + \int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2} = 4$$
que es más grande que $\pi$, por lo que es bueno. Del mismo modo, podemos límite inferior el integrando por $\frac{1}{2}$ $[-1, 1]$ $\frac{1}{2x^2}$ otra parte, dando exactamente la mitad de la anterior límite inferior, o $2$, que es menos de $\pi$, por lo que también es bueno; esto ya es suficiente para confirmar que no estamos por un factor de $2$, que es bastante común en las integrales cuya respuesta implica la $\pi$.
Más interesante aún, el contorno integral argumento generaliza a dar
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + tx^2} \, dx = \frac{\pi}{\sqrt{t}}$$
(que también se puede obtener sustituyendo $x \mapsto \sqrt{t} x$, pero de nuevo, imagina por un minuto no se han dado cuenta de esto), y podemos preguntarnos si las dos partes se comportan de la misma manera como una función de la $t$. Pues bien, en el lado izquierdo más grande de los valores de $t$ hacer el integrando de decaimiento más rápido, por lo que la integral debe ser una función decreciente de $t$, que es el caso en la RHS. Por otra parte la integral debe ir a $0$$t \to \infty$, y deben ir a$\infty$$t \to 0$, que es también el caso en la RHS. Usted puede tratar de adaptar el crudo de los límites superior e inferior de este caso así, y ellos continuarán para que coincida con. Esto no es una comprobación de que la respuesta numérica es el derecho, pero es una comprobación de que la forma en que usted está usando el contorno método de integración es la de dar respuestas que comportarse con sensatez.
Un ejemplo más complejo es el de Gauss integral
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}.$$
desde aquí la integral indefinida no está disponible, entonces tenemos que hacer algo más. De nuevo tenemos un positivo integrando y una respuesta positiva, por lo que es bueno. Podemos enlazado $e^{-x^2}$ $1$ $[-1, 1]$ y $|x| e^{-x^2}$ en otros lugares (elegido, ya $xe^{-x^2}$ tiene antiderivada $-\frac{1}{2} e^{-x^2}$), dando el límite superior
$$2 + 2 \int_1^{\infty} xe^{-x^2} \, dx = 2 + e^{-1} \approx 2.37$$
que es más grande que $\sqrt{\pi} \approx 1.77$, por lo que es bueno. Esto es suficiente para comprobar que no estamos por un factor de $2$, y también es apenas suficiente para comprobar que no estamos por un factor de $\sqrt{2}$, ya que contamos con $\sqrt{2 \pi} \approx 2.51$.
Ahora, uno para calcular la integral de Gauss es famoso para calcular su cuadrado, es decir,
$$\int_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2 - y^2} \, dx \, dy = \pi$$
usando coordenadas polares. Podemos comprobar este método mediante la comprobación de que se sigue para dar respuestas sensatas en las dimensiones superiores, es decir, que debe dar
$$\int_{\mathbb{R}^n} e^{-x_1^2 - \dots - x_n^2} \,dx_1 \dots \, dx_n = \pi^{n/2}.$$
Vamos a calcular esta integral en coordenadas esféricas por la integración sobre todas las esferas de la radio de $r$ todos los $r \ge 0$; esto da que la integral se convierte en
$$\int_0^{\infty} S_{n-1}(r) e^{-r^2} \, dr$$
donde $S_{n-1}(r)$ es la "hipersuperficie área" $(n-1)$- esfera de radio $r$. Esta integral es más fácil de calcular al $n = 2$ donde $S_1(r) = 2 \pi r$ y tenemos una escuela primaria antiderivada disponibles, lo que da $\pi$ como se esperaba. En general$S_{n-1}(r) = r^{n-1} S_{n-1}(1)$, por lo que la identidad que queremos comprobar es que
$$\boxed{ S_{n-1}(1) \int_0^{\infty} r^{n-1} e^{-r^2} \, dr = \pi^{n/2} }.$$
Dependiendo de la cantidad es más un misterio para usted, usted puede pensar en esto como una fórmula para el área de superficie de la $S_{n-1}(1)$ $(n-1)$- esfera de radio $1$, o una fórmula integral para la $\int_0^{\infty} r^{n-1} e^{-r^2} \, dr$. Estas dos cantidades son un poco misterioso, pero, en cualquier caso, las fórmulas para que ambos se conocen y se puede comprobar que se multiplican a $\pi^{n/2}$, así que al menos todos los de el un poco las cosas misteriosas comportan de la misma forma con cada uno de los otros.
Para empezar, cuando $n = 3$ tenemos $S_2(1) = 4 \pi$, por lo que la identidad para comprobar es que
$$4 \pi \int_0^{\infty} r^2 e^{-r^2} \, dr = \pi^{3/2}.$$
Usted puede comprobar esto mediante un cambio de coordenadas como el anterior para calcular que
$$\int_0^{\infty} e^{-tr^2} \, dr = \frac{\sqrt{\pi}}{2} t^{-1/2}$$
y, a continuación, diferenciando ambos lados con respecto a $t$ para obtener
$$\int_0^{\infty} r^2 e^{-tr^2} \, dr = \frac{\sqrt{\pi}}{4} t^{-3/2}$$
la sustitución de $t = 1$ conseguir $4 \pi \left( \frac{\sqrt{\pi}}{4} \right) = \pi^{3/2}$. Así que todo lo comprueba. Por supuesto, en este punto, usted está comprobando integrales mediante la evaluación de otras integrales y si usted está preocupado acerca de cometer errores, mientras que la integración podría preocuparse de que su respuesta original es correcta, pero que sus cheques se equivoca... a fin de mantenerlo simple, si usted puede. (Por ejemplo, accidentalmente había escrito $t^{1/2}$ en lugar de $t^{-1/2}$ en la segunda a la última ecuación, y se confundió porque me faltaba un signo menos, se hizo la verificación de cordura a ver si $t^{1/2}$ tenían el derecho cualitativa el comportamiento como una función de la $t$; por supuesto que no y me encontré con mi error!)
