Por qué $a^p\in N$ si tiene $[a]^p=[e]$ $G/N$

Question

Supongamos que existe un elemento en $G/N$ orden $p$ donde $p$ es un número primo. En otras palabras, existe una $a\in G$ tal que $[a]^p=[e]$ donde $[a]\neq[e]$.

Entonces, ¿por qué $a^p$ pertenece a $N$?

Entiendo que si $a^p$ pertenece a $N$, entonces a partir de la $[a^p]=Na^p$, por el cierre de $N$, $[a^p]$ es un subconjunto de a $N$; Desde $N=Na^{-p}a^p$, por el hecho de que $N$ es cerrado bajo la inversión y la multiplicación, $N$ es un subconjunto de a $[a^p]$, lo $[a^p]=N=[e]$. Pero a pesar de la afirmación de que $a^p$ pertenece a $N$ conduce al hecho de que $[a]^p=[e]$, no es una condición necesaria para que estos dos iguales.

Answer 1

Son complicadas las cosas.

Por definición, $[a]^p=[a^p]$ y decir $[a]^p=[e]$ se convierte en $$ [una ^ p] = [e] $$ o $a^p\in N$, porque la relación de equivalencia que utilizas es $$ x \sim y \text {si y sólo si} xy ^ {-1} \in N. $$ en otra notación, donde utilizamos $[x]=Nx$, $$ Nx = Ny\text {si y sólo si} xy ^ {-1} \in N. $$

Answer 2

$[a^p] = [a]^p = [e] \iff a^pN = eN = N$. También tenemos $a^p = a^p\cdot1 \in a^pN = N$, que $a^p \in N$.