¿Cómo descubrir la función de límite se puede?

Question

Mientras yo estaba leyendo un artículo en la Wikipedia que trata con pointwise convergencia de una secuencia de funciones, me pregunté cómo el mal puede el límite de la función? Cuando digo mala, me refiero a cómo discontinuo puede ser?

Así que tengo a estas dos preguntas:

1) ¿existe una secuencia de funciones continuas $f_n$ definido en el cerrado (o, si lo desea, puede tomar abrir) intervalo de $[a,b]$ (que tiene longitud finita) que converge pointwise a la función de límite de $f$ de manera tal que la función de límite de $f$ tiene infinito número de discontinuidades?

2) ¿existe una secuencia de funciones continuas $f_n$ definido en el cerrado (o, si lo desea, puede tomar abrir) intervalo de $[a,b]$ (que tiene longitud finita) que converge pointwise a la función de límite de $f$ de manera tal que la función de límite de $f$ tiene infinito número de discontinuidades y por cada dos puntos $c\in [a,b]$, $d\in [a,b]$ en que $f$ es continua y no existe punto de $e\in [c,d]$ que $f$ es discontinua?

Me topé con Egorovs teorema que dice, más o menos, que pointwise la convergencia de un conjunto implica la convergencia uniforme sobre algunos de los más pequeños y sé que la convergencia uniforme sobre algún conjunto implica la continuidad de la función de límite en ese conjunto, pero no sé, puede que estas dos preguntas pueden resolverse únicamente con Egorovs teorema o con algunos de sus modificaciones, así que si alguien me puede ayudar o me apunte en la dirección correcta que sería bueno.

Answer 1

La siguiente es una aplicación estándar de Categoría de Baire Teorema:

Conjunto de puntos de continuidad de punto sabio límite de funciones continuas de un Baire Espacio para un espacio métrico es denso $G_\delta$ y por lo tanto no puede ser contable.

Otro resultado es el siguiente:

Cualquier monotonía de la función en un intervalo compacto es un pointwise límite de funciones continuas.

Tal función puede tener countably conjunto infinito de discontinuidades. Por ejemplo, en $[0,1]$ considera que la función de distribución de la medida que da la probabilidad de $1/2^n$ $r_n$donde $(r_n)$ es cualquier enumeración de los números racionales en $[0,1]$. El conjunto de puntos de discontinuidad de esta función es $\mathbb{Q}\cap[0,1]$.

Answer 2

La respuesta a 1 es sí. Aquí está una (un poco cursi) de la construcción. Queremos replicar el comportamiento de $x^k$ infinitamente muchas veces cerca de $x=1$. Empezamos a trabajar en la línea real para su comodidad. Deje $n$ natural. En cada intervalo de $[n,n+1],$ construimos un pedazo $g_{n,k}(x)$ así, en la primera mitad del intervalo disminuye linealmente a partir de $1$$0$. En la segunda mitad, aumenta como $\left(2(x-n+1/2)\right)^k$. Nota de cada $g_{n,k}$ es continua. Y ellos están de acuerdo en que comparten fronteras. Para pegar todos los de la $g_{n,k}$ juntos nos da una función continua $g_k$ sobre el positivo de reales.

Ahora podemos bajar a $[0,1)$ por una función continua, es decir,$h(x)=\frac{x}{x+1}$. Nota: $h$ es bijective de forma continua con inversa. Ahora $f_k = h g_k h^{-1}$ debe tener el comportamiento deseado. Funciones continuas pasar a través de los límites, para por un determinado $x\in [0,1)$, la convergencia de las $f_k(x)$ es equivalente a la convergencia de $g_k(x)$. De modo que las obras.

A continuación, queremos comprobar que hay infinitamente muchas discontinuidades. Hemos diseñado el $g_k$ a tener este comportamiento de manera que siempre $h^{-1}(x)$ es un número entero, tenemos una discontinuidad en el límite infinitamente a menudo cerca de $x=1$, como se desee.

Answer 3

Usted puede construir fácilmente un ejemplo concreto que exhiben comportamiento "2)":

Vamos a construir una secuencia de funciones cuyas gráficas consisten en los picos de la convergencia de pointwise a Thomae la función de

$f_1$ tienen un solo punto de anchura $4^{-1}$ $\tfrac12$ y la altura de la $\tfrac12$.

$f_2$ comienza como $f_1$ a excepción de estrechar su pico a $4^{-2}$ y, a continuación, añadimos dos picos de la misma anchura en $\tfrac13$ $\tfrac23$ cada uno de la altura de la $\tfrac13$.

Para $f_3$ nosotros de nuevo estrecha de los picos de a $4^{-3}$ y, a continuación, añadimos los picos en $\tfrac14$ $\tfrac34$ de la altura de la $\tfrac14$.

Por supuesto, la escritura esta en completo detalle es mindnumbling loco y aburrido, y, obviamente, también falta el punto.

Lo que se espera debe estar claro es que el $f_n$ se forma una sucesión convergente pointwise a Thomae la función de mostrar que, de hecho, puede tener funciones como discontinuo como usted desee.

Pero esto es en ninguna parte cerca tan malo como sea posible. Usted puede tener límite de funciones que son discontinua en un conjunto de medida $1$, aunque aún debe ser comeagre por la Baire–Osgood teorema (ver mi comentario debajo de la pregunta para los enlaces)