¿A qué tamaño la autogravitación contribuirá más a la estabilidad que a la tensión superficial?

Question

Los gobiernos de la Tierra se han embarcado en un experimento para colocar una enorme bola de agua en órbita. (umm... especial de agua que no se congela)

Imagine que trata de un líquido con una densidad de, $\rho$ ($kg/m^3$), la tensión superficial, $\sigma$ ($J/m^2$), y se formó en una esfera de radio $R$ ($m$). Creo que la viscosidad $\mu$ no es necesario para esta pregunta, pero me corrija si estoy equivocado.

¿A qué tamaño será el restaurador de las fuerzas de la gravedad (después de alguna pequeña perturbación) a ser más significativa que la de la tensión superficial? Sería el tipo de perturbación hacer una diferencia?

Sólo por diversión, aquí está un video de una bola de agua estabilizada por la tensión superficial.

Answer 1

Hagamos una rápida estimación.

Deje $R_{cr}$ ser un crítico de radio de la bola de modo que la condición de estabilidad para que la pelota se expresa como $$R<R_{cr}$$ What can $R_{cr}$ depend on? The most important properties are inertia, gravity and surface tension, which are characterized by the density $\rho$, the gravitational constant $G$ and surface tension coefficient $\sigma$. So $R_{cr}$ can be a function only of mentioned parameters: $$R_{cr}=f(\rho , \sigma , G)$$ By dimensional analysis, the dimension of $R_{cr}$ is meter. The combination $\left (\frac{\sigma}{\rho^2 G}\right)^{1/3}$ tiene también la dimensión de metro. Por lo tanto, podemos escribir:

$$R_{cr}=C\left(\frac{\sigma}{\rho^2 G}\right)^{1/3}$$ where $C$ es una constante adimensional de órdenes de magnitud cercana a 1.

Para el agua, $\sigma=0.07\frac{J}{m^2}$, $\rho=10^3\frac{kg}{m^3}$ y también se $G=6.67\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}$

Así, una estimación aproximada:$$R_{cr}\approx\left(\frac{\sigma}{\rho^2 G}\right)^{1/3}=10m$$

Answer 2

La respuesta de Martin es buena, pero todavía quiero seguir a lo largo del pensamiento ruta que tenía en mente. Espero me puedan dar una diversa base física para la confirmación del número.

Estoy seguro de que hay mejores maneras de hacer esto, pero quiero hacerlo usando sólo la información que tengo. Quiero estudiar la transferencia de una cierta cantidad de masa ($m$ por ahora) desde cerca de la superficie de la esfera en el interior de la esfera (la plena integración). En ambos casos podemos asnos cierta cantidad de la diferencia de energía entre el esférico blob de masa $M+m$ y el estado de la esfera con la masa de $M$ $m$ masa flotando justo por encima de la superficie. Así que los dos estados en cuenta son:

• Estado 1: (M+m) big bola
• Estado 2: (M) de la bola de lado (m) de la bola

Yo no tengo ningún problema asumiendo $m \ll M$. Ahora, quiero escribir la expresión por tanto la energía de enlace gravitacional , así como la superficie de la energía de enlace de una pelota. Voy a hacer esto por un genérico de esfera con una masa de $M$ y densidad uniforme.

$$E_g(M) = - \frac{3 G M^2}{5 R(M)}$$

$$E_s(M) = - 4 \pi R(M)^2 \sigma$$

Estoy dejando en este formulario, ya que todos estamos de acuerdo en que, dada la masa y la densidad, la búsqueda de $R(M)$ no es un problema. Ahora quiero escribir expresiones para la diferencia de energía de estado 2 al estado 1. Esto es sencillo de la tensión superficial de la energía, puesto que los cuerpos no son de la interacción. Sin embargo, para que la energía de enlace gravitacional, todavía hay una energía de enlace entre la pelota grande y la pequeña pelota que deben ser incluidos. Tenga en cuenta que el estado 1 es el menor estado de energía.

$$\Delta E_s = E_s(M) + E_s(m) - E_s(M+m)$$

$$\Delta E_g = E_g(M) + E_g(m) - \frac{G M m}{R(M)} - E_g(M+m)$$

Ahora, obviamente, la idea podría ser la de establecer estas igual, supongamos que $m$ es pequeña y, a continuación, encontrar la $M$ como una solución a la ecuación. Pero eso no funciona! Creo que tengo un gran defecto conceptual en este enfoque, donde la disminución de la superficie de la pequeña $m$ blob sólo no siguen una escala que funciona. Yo no sabía qué hacer, así que me acaba de quitar el $E_s(m)$, el abandono de toda lógica el razonamiento detrás de mi trabajo. Pero cuando hice esto y se utiliza Martin valores, obtuve el siguiente:

$$M=1.05 \times 10^6 kg$$

Este fue asumiendo $m=0.1 kg$. Si puedo cambiar ese valor no cambia de $M$ muy mucho, lo cual es alentador. Esta es una respuesta satisfactoria para mí, porque Martin respuesta que sale a alrededor de 0,5 millones de kg.