Cauchy ' fórmula integral de s y verde ' teorema s. ¿Escalar o degradado?

Question

Estudié un poco de la electrostática hace mucho mucho tiempo por lo que entiendo perfectamente a Teorema de Green y entiendo lo que significa encontrar la divergencia del gradiente de una función escalar.

Fórmula integral de Cauchy es similar al teorema de verdes pero parece que es la integral de línea de una función escalar en lugar de la integral de línea del gradiente de una función escalar.

¿Existe un gradiente enterrado en algún lugar en las matemáticas hay que no puedo ver?

Answer 1

Realmente es de Cauchy de la integral teorema que puede ser derivado de Verde del teorema, de la siguiente manera. Deje $U$ ser simplemente conectado abrir subconjunto de $\mathbb{C}$, vamos a $f : U \to \mathbb{C}$ ser un holomorphic función real y piezas complejas $f(z) = u(z) + i v(z)$, y deje $C$ ser una orientación positiva de contorno en $U$. Luego de Cauchy de la integral teorema de los estados que

$$\oint_C f(z) \, dz = \oint_C (u(z) + i v(z))(dx + i dy) = 0.$$

Tenga en cuenta que esto puede ser expresado en términos de dos reales de las integrales de línea como

$$\oint_C (u \, dx - v \, dy) + i \oint_C (v \, dx + u \, dy).$$

Ambos de estas integrales pueden ser calculadas usando el Verde del teorema, que da a los que son iguales a

$$\iint_D \left( - \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) \, dx \, dy + i \iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right) \, dx \, dy$$

donde $D$ es el interior de la región delimitada por $C$, y el integrands aquí ambos se desvanecen por la de Cauchy-Riemann ecuaciones. Lo que esto implica es que los "campos vectoriales" (en realidad 1-formas) $u \, dx - v \, dy$ $v \, dx + u \, dy$ son los "degradados" (realmente diferenciales) de las funciones escalares, que resultan ser las partes real e imaginaria de la antiderivada de $f$.

En cualquier caso, de Cauchy de la integral fórmula no es difícil deducir, a partir de aquí; para más detalles ver estas notas.