Dada una matriz unitaria $U$ ¿Cómo puedo encontrar $A$ tal que $U=e^{iA}$ ?

Question

Una matriz unitaria $U \in \mathbb C^{n \times n}$ siempre se puede escribir en forma exponencial

$$U = e^{iA} \tag{1}$$

donde $A$ es hermitiana. Mi objetivo es encontrar la matriz hermitiana $A$ dada la matriz unitaria $U$ . Descubrí una manera de diagonalizar $U$ en la siguiente forma:

$$U = V^{\dagger} [e^{ia_{kk}}] V$$

Por lo tanto, obtenemos

$$A = V^{\dagger} [a_{kk}] V$$

¿Es esta la forma estándar de encontrar la matriz hermitiana $A$ en la ecuación (1)?

Si quiero aprender más sobre la exponenciación de los operadores unitarios y sus propiedades generales, ¿qué temas debería leer?

Answer 1

Detallo la forma que propone WishBeLeibniz.

Desde $U$ es normal, hay una unidad $R$ s.t. $R^*UR=diag(\lambda_j)$ . Desde $U$ es unitaria, $\lambda_j=e^{i\theta_j}$ donde $\theta_j\in\mathbb{R}$ Entonces $R^*UR=\exp(idiag(\theta_j))$ y $U=\exp(iRdiag(\theta_j)R^*)$ ; por último, $H=Rdiag(\theta_j)R^*$ es hermitiana y satisface $U=e^{iH}$ . Por supuesto, $H$ no es único, porque el $\theta_j$ no son únicos. Sin embargo, si elegimos $\theta_j=\theta_k$ cuando $\lambda_j=\lambda_k$ entonces $H$ es un polinomio en $U$ .

EDITAR. Respuesta a WishBeLeibniz. 1. Arriba elegimos $H$ s.t. $U,H$ son diagonales en la misma base y por lo tanto $UH=HU$ si además elegimos $\theta_j=\theta_k$ cuando $\lambda_j=\lambda_k$ , entonces dejemos que $P$ sea el polinomio interpolador de Lagrange s.t. $P(\lambda_j)=\theta_j$ claramente $P(U)=H$ .

2. $H$ no es único porque podemos cambiar $\theta_j$ con $\theta_j+2i\pi$ .

3. Tenga en cuenta que si $e^{iH}=U$ entonces $UH=HU$ ; ya que $H,U$ son ambos diagonalizables sobre $\mathbb{C}$ , $H,U$ son simultáneamente diagonalizables; así obtuvimos arriba esencialmente todo el conjunto de hermitianos $H$ s.t. $e^{iH}=U$ .

Answer 2

Dado $U=e^{iH}$ , se supone que V diagonaliza a H:

$e^{V^{-1} iH V} = V^{-1} e^{iH} V = V^{-1} U V$ lo que implica que V también diagonaliza a U;

por lo tanto, $V$ es fácil de encontrar. Dejemos que $\alpha_i$ denotan el $i^{th}$ elemento diagonal de $V^{-1} U V$ entonces $\alpha_i = e^{i \theta_i}$ donde $e^{i \theta_i}$ es el $i^{th}$ elemento diagonal de $e^{V^{-1} iH V}$ . Entonces, se deduce fácilmente que $\theta_i = \tan^{-1}(Im(\alpha_i)/Re(\alpha_i))$ ya que los valores propios de U se encuentran en el círculo unitario.