Me preguntaba si existe tal función. Me siento cómodo con los derivados de funciones polinómicas y algunas otras funciones básicas, pero me pregunto si podría existir una función muy complicada que no tiene un derivado.
Respuesta
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El conocido ejemplo es la Función de Weierstrass $f$, que se define como $$f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin\left(\pi{k}^2x\right)}{\pi{k}^2}.$$
El $y=f(x)$ gráfico se parece a esto (y de manera intuitiva muestra por qué es diferenciable de la nada):
Otro ejemplo sería la Función de Dirichlet $D$, que se define como $$D(x)=\begin{cases}1,\;\;x\in\mathbb{Q},\\0,\;\;x\in\mathbb{I}.\end{cases}$$
Su gráfico de $y=D(x)$ se podría ver como un par de líneas $\displaystyle{y=\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}}$ (que de cousre no es una gráfica de cualquier función), por lo que es interesante para mostrar. La parte interesante es que el $D$ realidad es discontinua en todas partes, y por lo tanto diferenciable en ningún lugar.
