Que $V=M_2(\Bbb C)$ ser el conjunto de todos los $2$x $2$-matrices. Que $G=B$x $B$ $B$ Dónde está el grupo de $2$x $2$ bajar matrices triangulares con las entradas diagonales de distinto de cero. Entonces G actúa en $V$ $\rho (g,h)x=gx^th$ $x \in V$ y $(g,h) \in G$. ¿Cuál es el % de representación $\rho^*$de $G$ contragredient $\rho$?
Respuesta
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En primer lugar, a reescribir la fórmula de $\rho$ por lo que me parece más comprensible (sé que también es algo aceptado notación para escribir la "t" a la izquierda, pero en este caso lo leí primero como '$x$ traspuesto'): $$\rho(g,h)x=g x h^t.$$ (That is, $$ %h que transponen).
El % de espacio $V$tiene una forma bilineal simétrica de degenerado no definida por el $$(x,y)=\mathrm{trace}(xy).$$ This form identifies $ $ V$ with its dual. In terms of this identification, the dual ("contragredient") representation $\chi(g,h) está dada por
% $ $$\chi(g,h)(y)(x)=y(g^{-1} x (h^{-1})^t)=\mathrm{trace}(y g^{-1} x (h^{-1})^t)=\mathrm{trace}((h^{-1})^t y g^{-1} x)=((h^{-1})^t y g^{-1})(x).$En otras palabras, $$\chi(g,h) y =(h^{-1})^t y g^{-1}.$ $
