Según la definición, en general, una estructura $\langle A;R;F,C\rangle$ es tal que $A$ es un conjunto no vacío, $R$ es el conjunto de relaciones, $F$ es el conjunto de funciones, y $C$ es un conjunto de constantes. Por ejemplo $\langle\mathbb{R};; +,\cdot, ^{-1};0,1\rangle$ sería el campo de los números reales. Ahora, en la construcción de la teoría de conjuntos (ZF), necesitamos hacer una estructura. Pero entonces $A$ sería el conjunto de conjuntos, lo cual es imposible... ¿Qué se me escapa?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es un punto muy delicado en la teoría de conjuntos.
En primer lugar, hay que señalar que el concepto de "conjunto" no es absoluto. Diferentes modelos de la teoría de conjuntos, pensarán que diferentes objetos matemáticos son efectivamente conjuntos.
Este es un punto de vista externo. Consideramos los universos de la teoría de conjuntos como conjuntos, desde el exterior . La paradoja de Russell, y de hecho todas las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos, afirman que el universo no puede ser un conjunto de su propio punto de vista . Aquí es donde los puntos de vista internos y externos son importantes.
Además, si en un universo de la teoría de conjuntos que satisface los axiomas de $\sf ZF$ y podemos encontrar un conjunto $M$ y una relación $E$ tal que $\langle M,E\rangle$ es un modelo de $\sf ZF$ entonces por el teorema de completitud hemos demostrado que $\sf ZF$ es consistente - en ese universo particular. Pero por el teorema de incompletitud sabemos que una teoría como $\sf ZF$ no puede demostrar su propia consistencia, por lo que nunca podremos demostrar que dicha estructura de conjuntos existe.
Si $V$ es el universo de todos los conjuntos que tienen las matemáticas, y supongamos que satisface todos los axiomas de $\sf ZF$ entonces sabemos que (1) no es un conjunto propiamente dicho; (2) no podemos demostrar que exista un conjunto que sea una estructura que satisfaga los axiomas de $\sf ZF$ (3) si hay tal conjunto, entonces podemos hablar de objetos que están en esa estructura, que esa estructura particular piensa como conjuntos, y podemos contrastarlos con los conjuntos reales.
Por cierto, esto se acerca a la paradoja de Skolem.
En cualquier caso, como he dicho, este es un punto muy delicado y hay que estudiar bastante lógica y teoría de conjuntos para entenderlo completamente y sentirse cómodo con él.
